Question

如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 处在同一竖直线上．在两板之间有一带负电的质点P．已知A、B间所加电压为U₀时，质点P所受的电场力恰好与重力平衡．现在A、B 间加上如图2所示随时间t作周期性变化的电压U，已知周期（g为重力加速度）．在第一个周期内的某一时刻t₀，在A、B 间的中点处由静止释放质点P，一段时间后质点P从金属板的小孔飞出．
（1）t₀在什么范围内，可使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短？
（2）t₀在哪一时刻，可使质点P从小孔飞出时的速度达到最大？

Answer 1

设质点P的质量为m，电量大小为q，根据题意，当A、B间的电压为U0时，有
q =" mg                                " ①（1分）
当两板间的电压为2U0时，P的加速度向上，其大小为a1，则
q - mg =" ma1                          " ②（1分）
解得 a1 =" g                                    " ③（1分）
当两板间的电压为-2U0时，P的加速度向下，其大小为a2，则
q + mg =" ma2                                       " ④（1分）
解得 a2 ="3g                     "                ⑤（1分）
（1）要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，须使质点释放后一直向下加速运动．设质点释放后经过时间t到达小孔O’，则
              ⑥（1分）
解得                              ⑦（1分）
因为 ，所以 ，质点到达小孔之前能一直加速．（1分）
因此要使质点在飞出小孔之前运动的时间达到最短，质点释放的时刻t0应满足

即                         ⑧（1分）
（2）要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，须使质点释放后先向上加速、再向上减速运动，在到达小孔O时速度减为0，然后向下加速运动直到小孔O’．
设质点释放后向上加速时间为t1、向上减速时间为t2，则


                          ⑨（3分）
由以上各式解得 _,       ⑩（1分）
因为，，因此质点P能向上先加速后减速恰好到达小孔O．（1分）
设质点从小孔O向下加速运动到小孔O’经过的时 间为t3，则
    ⑾（1分）
解得                        ⑿（1分）
因为，因此质点P能从小孔O向下一直加速运动到小孔O’，此时质点P从小孔O’飞出时的速度达到最大．（1分）
因此，要使质点P从小孔飞出时的速度达到最大，质点P释放的时刻应为         ⒀（1分）

解析