Question

如图1所示，A、B为水平放置的平行金属板，板间距离为d（d远小于板的长和宽）．在两板之间有一带负电的质点P．已知若在A、B间加电压U₀，则质点P可以静止平衡于A、B间．现在A、B 间加上如图2所示的随时间t变化的电压U，在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度上下运动而不与两板相碰，求
（1）质点P的比荷（即电荷量大小与质量的比值）
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…时间内的加速度大小和方向及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…时间内的加速度大小和方向
（3）图2中U改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式．（质点开始从中点上升到最高点，及以后每次从最高点到最低点或从最低点到最高点的过程中，电压只改变一次．）

Answer 1

分析：根据qE=mg，结合E=

U

d

，可求得电荷的比荷；
分时段对质点受力分析，由牛顿第二定律结合qE=mg与E=

U

d

，求加速度大小与方向．
根据题意分时段，由运动学公式来求出各自时间与间距的关系，同理求得其它时段的表达式，从而寻找规律列出表达式．

解答：解：（1）设质点P的质量为m，电量大小为q，
根据题意可知，当AB间的电压为U₀时，
有：q

U0

d

=mg 
解得：

q

m

=

dg

U0

（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…时间内的质点P只受重力，
加速度大小为g，方向竖直向下．
0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…时间内两板间的电压为2U₀时，
P的加速度向上，其大小为a，
则有q

2U0

d

-mg=ma
解得：a=g
（3）0～t₁，P自A、B间的中点向上作初速为0的匀加速运动，加速度为g，经过时间t₁，P的速度变为v₁，
此时使电压变为0，让P在重力作用下向上作匀减速运动，再经过t₁′，P正好达到A板且速度变为0，
则有：v₁=gt₁  
0=v1-g

t

′ 1

   

1

2

d=

1

2

g

t

2 1

+v1

t

′ 1

-

1

2

g

t

′2 1

   
由以上各式 解得：t1=

t

′ 1

=

2

2

d g

则t1总=

2

d g

在重力作用下，P由A板处向下做匀加速运动，经过时间t₂，P的速度变为v₂，方向向下，
此时加上电压使P向下匀减速运动，再经过t₂′，P正好达到B板且速度变为0，
故有
 v₂=gt₂
 0=v2-g

t

′ 2

 
d=

1

2

g

t

2 2

+v2

t

′ 2

-

1

2

g

t

′2 2

由以上各式可得：t2=

t

′ 2

=

d g

  
所以 t2总=(

2

+1)

d g

同理可得，t3总=(

2

+3)

d g

t4总 =(

2

+5)

d g

由以上可知规律，
(

2

+2n-3)

d g

   (n≥2)
答：（1）质点P的比荷

dg

U0

；
（2）t₁～t₂，t₃～t₄，t₅～t₆…时间内的加速度大小为g，方向竖直向下．及0～t₁，t₂～t₃，t₄～t₅…时间内的加速度大小为g，方向竖直向上．
（3）图2中U改变的各时刻t₁、t₂、t₃及t_n的表达式为(

2

+2n-3)

d g

  (n≥2)

点评：带电粒子在电场中运动的问题，是电场知识和力学知识的综合应用，分析方法与力学分析方法基本相同，关键在于分析粒子的受力情况和运动情况．