Question

8．如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图，模型图中半径为r的光滑圆形轨道固定在倾角为α的斜轨道面上，并与斜轨道圆滑相接于B点，圆形轨道的最高点C与A点平齐．现使小车（可视为质点）以一定的初速度从A点开始沿斜面向下运动，已知斜轨道面与小车间的动摩擦力为kmg，不计空气阻力，小车恰好能通过圆形轨道的最高点C处，求：
（1）小车在A点的初速度大小；
（2）小车在圆形轨道的最低点D时对轨道的压力大小．

Answer 1

分析 （1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点C处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在C点的速度．再由动能定理求小车在A点的初速度．
（2）根据动能定理或机械能守恒求出小车在轨道D点时的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛顿第三定律得到压力．

解答 解：（1）由于小车恰能通过C点，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$…①
小车由A→C，由动能定理得：
-kmgL_AB=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$…②
由几何知识得：
L_AB=$\frac{1+cosθ}{sinθ}$r…③
联立①②③三式解得：
v_A=$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$…④
（2）小车由D→C，由机械能守恒定律得：
 2mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$…⑤
在D点，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$…⑥
联立⑤⑥两式解得：N=6mg
由牛顿第三定律知小车在最低点对轨道的压力为：N′=N=6mg…⑦
答：
（1）小车在A点的初速度大小是$\sqrt{gr+2kgr\frac{1+cosθ}{sinθ}}$；
（2）小车在圆形轨道的最低点D时对轨道的压力大小是6mg．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解．