Question

6．根据实际需要，磁铁可以制造成多种形状，如图就是一根很长的光滑圆柱形磁棒，在它的侧面有均匀向外的辐射状磁场．现将磁棒竖直固定在水平面上，磁棒外套有一个粗细均匀圆形金属线圈，金属线圈的质量为m，半径为R，电阻为r，金属线圈所在位置的磁场的磁感应强度为B．让金属线圈从磁棒上端静止释放，经一段时间后与水平面相碰并原速率反弹，又经时间t，上升速度减小到零．则关于金属线圈与地面撞击前的速度ν，撞击反弹后上升到最高点的过程中，通过金属线圈某一截面的电量q，下列说法中正确的是（　　）

• A． $ν=\frac{mgr}{{4{B^2}{R^2}}}$
• B． $q=\frac{mgt}{2BπR}$
• C． $q=\frac{{{m^2}gr}}{{8{π^3}{B^3}{R^3}}}-\frac{mgt}{2πBR}$
• D． q=0

Answer 1

分析 （1）线圈下落过程中垂直切割磁感线，产生感应电动势，由E=BLv、I=$\frac{E}{r}$、F_A=BIL得到安培力的表达式，由牛顿第二定律分析线圈加速度的变化，判断线圈的运动情况：安培力逐渐增大，加速度逐渐减小，当安培力与重力平衡时，线圈做匀速直线运动，速度达到最大，由平衡条件可求出最大速度．
（2）根据牛顿第二定律得到反弹上升过程中线圈加速度的表达式，采用积分法求出电量q

解答 解：A、线圈第一次下落过程中有E=B•2πRv、I=$\frac{E}{r}$、F_A=BIL=BI•2πR，得安培力大小为：
F_A=$\frac{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}v}{r}$
根据牛顿第二定律得：
mg-F_A=ma
可知线圈做加速度减小的加速运动，当a=0时，速度最大，代入求得最大速度为：υ_m=$\frac{mgr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$，故A错误；
B、反弹后上升的过程中某一时刻，由牛顿运动定律得：mg+BI•2πR=ma
则得：mg△t+BI•2πR•△t=ma△t
在一段微小时间△t内，速度增量为△υ=a△t，通过线圈截面电量为：△q=I△t
则：△q=$\frac{ma△t-mg△t}{2πBR}$
得到：∑△q=$\frac{∑（ma-mg）△t}{2πBR}$，
又∑ma△t=∑m△v=mv_m=$\frac{{m}^{2}gr}{4{π}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}$，
∑mg△t=mgt₁，
故：q=$\frac{{m}^{2}gr}{8{π}^{3}{B}^{3}{R}^{3}}$-$\frac{mg{t}_{1}}{2πBR}$，故C正确，BD错误；
故选：C．

点评 本题是电磁感应问题，难点是采用积分法求解非匀变速运动的速度和高度，从牛顿第二定律入手，采取微元法，得到一段微小时间△t内速度的变化量和高度变化量，再积分．难度较大，考查运用数学知识处理物理问题的能力．