Question

5．我国自主建立的北斗导航系统已经正式商业运行．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置（如图所示）．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）卫星1运行到A点的加速度大小．
（2）卫星1运行的周期和卫星1由位置A首次运动至位置B所需的时间．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求卫星1运行到A点的加速度大小．
根据万有引力提供向心力列方程求出卫星1运行的角速度，进而求出周期．

解答 解：（1）设地球和卫星1的质量分别为M和m，则卫星1运动到A点所受万有引力为：F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$　
由牛顿第二定律，有：F=ma　
又在地球表面有有：$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g　
联立解得：a=$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$．
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mrω²，ω=$\frac{2π}{T}$、$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
联立解得卫星运行周期T=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$　
卫星1由位置A运动至位置B所需的时间t=$\frac{T}{6}$=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．
答：（1）卫星1运行到A点的加速度大小为$\frac{{R}^{2}g}{{r}^{2}}$．
（2）卫星1运行的周期$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$，卫星1由位置A首次运动至位置B所需的时间为$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}$．

点评 关于万有引力的应用中，常用公式是在地球表面重力等于万有引力，卫星绕地球做圆周运动万有引力提供圆周运动向心力，这是正确解决本题的关键．