Question

2．如图甲所示为“离心轨道演示仪”，由倾斜曲面轨道和半径R=0.2m的圆轨道平滑连接而成．现将其竖直固定在一水平桌面上（如图乙所示），其圆形轨道部分与桌面相切于A点，桌面离地距离h₁=0.8m．现从曲面轨道某处静止释放一质量m=0.1kg的小滑块，不计滑块与轨道各处的摩擦，取g=10m/s²．
（1）若滑块从A处刚进入圆轨道时，它对轨道的压力大小力F_NA=10mg，求：滑块开始释放处离桌面的高度h和滑块运动到圆弧轨道最高点B处时对轨道的压力大小F_NB；
（2）己知A点与桌面右边缘C点的距离为0.5m，桌面右侧d₁=0.6m处有一直径d₂=0.6m、高h₂=0.35m的开口向上的圆桶，滑块与桌面间的动摩擦因素μ=0.8．滑块从曲面轨道某处静止释放后，沿圆形轨道运动一周后从A点离开，并在桌面上继续向右运动直至落入圆桶中，则滑块释放处离桌面至少多高？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第三定律求得在A点受到的支持力，然后由牛顿第二定律求得在A点的速度，即可由机械能守恒求得h和在B的速度，然后对滑块在B点应用牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据滑块落入桶中，由平抛运动规律求得在C的速度范围，然后对滑块从静止到C应用动能定理即可求得高度范围，再对滑块在B点应用牛顿第二定律求得速度范围，然后由机械能守恒求得高度范围，两个高度范围的共值即可能实际能取的高度范围，即可得到最小高度．

解答 解：（1）滑块从A处刚进入圆轨道时，它对轨道的压力大小力F_NA=10mg，那么由牛顿第三定律可知：滑块受到的支持力也为10mg，对滑块应用牛顿第二定律可得：$10mg-mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
滑块运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，则有：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=\frac{9}{2}mgR$，$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，$h=\frac{9}{2}R=0.9m$，${v}_{B}=\sqrt{5gR}$，那么，对滑块在B点应用牛顿第二定律可得：滑块受到的支持力4N，故由牛顿第三定律可得：滑块运动到圆弧轨道最高点B处时对轨道的压力大小为4N；
（2）滑块从C到圆桶做平抛运动，故有：${h}_{1}-{h}_{2}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，d₁≤v_Ct≤d₁+d₂，所以，t=0.3s，2m/s≤v_C≤4m/s；
滑块要能通过B点，那么在B点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}_{B}{′}^{2}}{R}$；
对滑块从静止到B应用动能定理可得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$，所以，$h≥\frac{5}{2}R=0.5m$；
对滑块从静止到C应用动能定理可得：$mgh-μmgAC=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，所以，0.6m≤h≤1.2m；
所以，滑块释放处离桌面至少0.6m；
答：（1）若滑块从A处刚进入圆轨道时，它对轨道的压力大小力F_NA=10mg，则滑块开始释放处离桌面的高度h为0.9m，滑块运动到圆弧轨道最高点B处时对轨道的压力大小F_NB为4N；
（2）己知A点与桌面右边缘C点的距离为0.5m，桌面右侧d₁=0.6m处有一直径d₂=0.6m、高h₂=0.35m的开口向上的圆桶，滑块与桌面间的动摩擦因素μ=0.8．滑块从曲面轨道某处静止释放后，沿圆形轨道运动一周后从A点离开，并在桌面上继续向右运动直至落入圆桶中，则滑块释放处离桌面至少0.6m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．