Question

3．如图所示，ABCDMNC′PQ为竖直轨道．其中，CDMNC′是圆心为O、半径为R=0.1m的圆轨道．BC和C′P都是半径为2R的圆弧轨道，圆心为M点．MOC（C′）在同一竖直线上．直轨道AB和PQ分别相切与圆弧轨道的B、P两点，直轨道与水平方向的夹角均为37°．PQ是动摩擦因数为μ=0.5的粗糙轨道，其余轨道均光滑．现将质量m=0.2kg的小滑块（可视为质点）从距离B点L=4m的A处静止释放．求：（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²）
（1）小滑块在AB轨道上运动时的加速度大小；
（2）小滑块第一次经过M点时，轨道对它的作用力大小；
（3）小滑块能通过M点的次数．

Answer 1

分析 1、根据牛顿第二定律求解小滑块在AB轨道上运动时的加速度大小
2、根据动能定理研究A点到M点，在M点，根据牛顿第二定律求解
3、小滑块恰好经过最高点M时，根据牛顿第二定律求解M点速度，根据动能定理多次选择不同研究过程求解．

解答 解：（1）小滑块在AB轨道上运动时受重力和支持力，
根据牛顿第二定律得mgsinθ=ma
a=gsinθ=6m/s²
（2）根据动能定理研究A点到M点，
$mg（Lsin{37^o}-2Rcos{37^o}）=\frac{1}{2}m{v^2}$
在M点，根据牛顿第二定律得$mg+{F_N}=m\frac{v^2}{R}$
解得：F_N=87.6N
（3）小滑块恰好经过最高点M时，根据牛顿第二定律得：$mg=m\frac{v_M^2}{R}$
v_M=1m/s
小滑块能过最高点，根据动能定理得
$2mgRcos{37^o}=\frac{1}{2}mv_P^2-\frac{1}{2}mv_M^2$
${v_P}=\sqrt{4.2}m/s$
设小物块第一次在PQ轨道上速度减到0离P点的高点为h₁，有
$mg（Lsin{37^o}-{h_1}）-μmg\frac{h_1}{tanθ}=0$
h₁=1.44m
设小物块从第一次的最高点运动的P的速度为v₁，有$mg{h_1}-μmg\frac{h_1}{tanθ}=\frac{1}{2}mv_1^2$
${v_1}=\sqrt{9.6}m/s$
设小物块第二次在PQ轨道上速度减到0离P点的高点为h₂，有$-mg{h_2}-μmg\frac{h_2}{tanθ}=0-\frac{1}{2}mv_1^2$
h₂=0.288m设小物块从第二次的最高点运动的P的速度为v₂，有$mg{h_2}-μmg\frac{h_2}{tanθ}=\frac{1}{2}mv_2^2$
${v_1}=\sqrt{1.92}m/s＜\sqrt{4.2}m/s$不能过最高点．         
小滑块能通过M点3次  
答：（1）小滑块在AB轨道上运动时的加速度大小是6m/s²；
（2）小滑块第一次经过M点时，轨道对它的作用力大小是87.6N；
（3）小滑块能通过M点3次

点评 解决本题的关键理清物块的运动过程，结合动能定理进行求解，本题对数学能力的要求较高，知道物块不能到达M点的条件，结合数学知识进行求解．