题目内容

如图所示，ABCD是T形架，B为AC的中点，BD与AC垂直．已知ABC是质量m1=10kg的匀质硬木板，BD是质量m2=5kg的匀质硬木柱，且BD=0.6m，D端用光滑的铰链与地面连接，木板与水平地面的夹角为37°．小钢块质量m3=3kg，与木板间的动摩擦因数μ=0.75．小钢块先在外力F=38.4N作用，从静止开始沿木板加速向上运动，一段时间后撤去外力F，小钢块继续沿木板运动至A且速度恰好变为零，T形架始终处于平衡状态．（取sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）木板C端所受支持力的最小值．
（2）外力F与AC间的夹角为多大时，外力F作用的时间最短？
（3）外力F作用的最短时间．
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（1）小钢块位于A位置时，木板C端所受的支持力最小．
T型架受力如图（甲）所示，其力矩平衡．N?
.
AB
+μN?
.
BD
+NC?
.
DC
=m2g?
.
BD
2
sin37°+m1g?
.
BD
sin37°
由小钢块的受力，可知  N=m3gcos37°   
求得C 端所受支持力的最小值  NC=15N  

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（2）要让外力F作用的时间最短，则应使外力作用时，小钢块的加速度最大．
小钢块的受力如图（乙），设F与AC的夹角为 β，则
平行AC方向：Fcosβ-m3gsinβ-μN=m3a1   
垂直AC方向：N+Fsinβ=m3gcosβ   
联立，得
a1=
F(cosβ+μsinβ)
m3
-gsinθ-μgcosθ=
1+μ2
F
m3
cos（β-α）-gsinθ-μgcosθ，

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式中α=arctan μ  （见上图）
因此，当F与AC的夹角β=α=arctanμ=arctan0.75=37°时，加速度a1最大，外力F作用的时间最短．   
（3）由（1）知  a1max=
1+μ2
F
m3
-g （ sinθ+μ cosθ ）=4m/s2    
撤去拉力后，a2=g （sinθ+μ cosθ ）=12m/s2   
又  
s1
s2
=
a2
a1max
=
12
4
=3，s1=
3
4
.
AC
=1.2m   
由  s1=
1
2
a1max
t21
，得外力F作用的最短时间 t1=0.77s  
答：（1）木板C端所受支持力的最小值为15N．
（2）外力F与AC间的夹角为37°时，外力F作用的时间最短；
（3）外力F作用的最短时间为0.77s．
练习册系列答案
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2
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