Question

10．如图为一个四星系统，依靠四颗星间的相互作用，维持稳定的运动状态，其中三颗星质量均为m的星体，A、B、C等间隔分布在半径为r的圆轨道上并做同向的圆周运动，质量为M的星体D在圆轨道的圆心上，该星体的半径为R，另外三颗星体的半径可以忽略不计，忽略其他星体对四颗星的引力作用，则下列说法正确的是（　　）

• A． A、D星体间的引力大小为$\frac{GMm}{（r-R）^{2}}$
• B． A、B星体间的引力大小为$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$
• C． 星体C做圆周运动的向心大小为G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$
• D． 星体C做圆周运动的周期为T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$

Answer 1

分析 星体间的引力可根据万有引力定律求解．星体C做圆周运动的向心力由其他三个星体引力的合力提供．根据向心力公式求解周期．

解答 解：A、A、D星体间的距离为r，则A、D星体间的引力大小为 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$，故A错误．
B、A、D星体间的距离为2rsin60°，A、B星体间的引力大小为 $\frac{G{m}^{2}}{（2rsin60）^{2}}$=$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$，故B正确．
C、星体C做圆周运动的向心力由其他三个星体引力的合力提供，为
F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+2•$\frac{G{m}^{2}}{3{r}^{2}}$•cos30°=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$+$\frac{\sqrt{3}G{m}^{2}}{{r}^{2}}$，故C错误．
D、对于C：F=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得 T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{2}}{3M+\sqrt{3}m}}$，故D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键掌握在四颗星组成的四星系统中，ABC中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．