Question

14．卫星携带一探测器在半径为3R（R为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行．在a点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）．若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离为nR （n略小于3），求卫星与探测器的质量比．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求出半径为3R的圆运动速度，对分离后探测器，根据机械能守恒求出分离后的速度，由机械能守恒定律和开普勒第二定律求出分离后卫星的速度，再根据动量守恒定律即可求解卫星与探测器的质量比．

解答 解：设地球质量为M，卫星质量为m₁，探测器质量为m₂，
半径为3R的圆运动速度为v，显然有
${v}^{2}=\frac{GM}{3R}$
设分离后探测器速度为v₂，
$\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}-\frac{GM{m}_{2}}{3R}=0$
解得：${{v}_{2}}^{2}=\frac{2GM}{3R}$
设分离后卫星速度为v₁，近地点速度为v_b，由机械能守恒定律和开普勒第二定律得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{GMm}{3R}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{b}}^{2}-\frac{GMm}{nR}$，
3Rv=nRv_b，
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2n}{3+n}}\sqrt{\frac{GM}{3R}}$
由动量守恒定律得：
（m₁+m₂）v=m₁v₁+m₂v₂
解得：$\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2n}{3+n}}}$
答：卫星与探测器的质量比为$\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2n}{3+n}}}$．

点评 本题主要考查了向心力公式、机械能守恒定律、开普勒第二定律以及动量守恒定律的应用，解题的关键是知道分离后卫星和探测器的运动情况，能选择合适的定律求解，难度较大．