Question

19．如图所示，质量M=4kg的木板静置于光滑水平面上，质量m=1kg的小物块（可视为质点）以初速度v₀=4m/s从木板的左端冲上木板，同时在木板的右端施加一个水平向右F=2N的恒力，经t=1s撤去外力，最后小物块恰好不从木板的上端滑下，已知小物块与木板之间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）经过t=1s，小物块在木板上滑动的距离△x₁为多少？
（2）木板的长度l为多少？

Answer 1

分析 （1）小滑块将相对木板滑动过程中，m对M的滑动摩擦力水平向左，M对m的滑动摩擦力水平向右，根据牛顿第二定律分别求出两个物体的加速度，再根据运动学基本公式求解．
（2）小物块恰好不从木板的上端滑下，则最终速度相等，滑动过程中，根据动量守恒定律求出共同速度，再根据能量守恒结合位移关系求解．

解答 解：（1）物块所受摩擦力f=μmg=2N，根据牛顿第二定律得：a=$\frac{μmg}{m}=2m/{s}^{2}$，
t=1s时木块的速度为：v=at=2m/s，
木块运动的位移为：s=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}=2×1+\frac{1}{2}×2×1=3m$
木板所受合外力为：F_合=F+f=4N，
所以加速度为：a₂=$\frac{{F}_{合}}{M}$=1m/s²，
木板运动的位移为：x=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=0.5m$
所以有：△x₁=s-x=2.5m
（2）撤去外力时，物块的速度是2m/s，木板的速度v₂=a₂t=1m/s，小物块恰好不从木板的上端滑下，则末速度相等，根据动量守恒定律得：
mv+Mv₂=（m+M）v₁
解得：v₁=1.2m/s
对整个系统根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{{v}_{1}}^{2}=μmg{x}_{1}$
解得：x₁=0.2m
则木板的长度为：l=△x+x₁=2.7m
答：（1）经过t=1s，小物块在木板上滑动的距离△x₁为2.5m；
（2）木板的长度l为2.7m．

点评 本题涉及两个物体的动力学问题，除了隔离研究两个物体的运动情况外，关键是找出两个物体之间的关系，知道木块在滑动过程中，木块和木板组成的系统动量守恒．