Question

17．两颗人造卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，周期之比为1：8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（　　）

• A． 4：1  1：2
• B． 4：1   2：1
• C． 1：4   1：2
• D． 1：4  2：1

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，解出两卫星轨道半径之比．
再根据$v=\frac{2πr}{T}$，可计算出两卫星运动速度之比．

解答 解：（1）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以$\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}=\root{3}{\frac{{{T}_{A}}^{2}}{{{T}_{B}}^{2}}}=\root{3}{\frac{1}{{8}^{2}}}=\frac{1}{4}$
（2）根据$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，得$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\frac{{r}_{A}}{{r}_{B}}×\frac{{T}_{B}}{{T}_{A}}=\frac{1}{4}×\frac{8}{1}=\frac{2}{1}$
故选：D

点评 本题关键要在理解的基础上能熟练运用万有引力提供向心力计算出卫星的周期与半径的关系式．