Question

7．如图所示，光滑的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为0.5m，小物体A（质量为m）以速度v₀=15m/s与物体B（质量为M）发生正碰后，物体A以v₁=5m/s的速度沿原路返回，求：
（1）要使物体B碰撞后，恰能沿半圆形轨道运动到最高点，则两物体的质量之比$\frac{m}{M}$是多少？
（2）在上述条件下，物体B落回到水平面的位置距半圆形轨道底端的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）M恰好到达轨道最高点，支点做圆周运动的向心力由重力提供，由牛顿第二定律可以求出质点在最高点时的速度，M从最低点运动到最高点的过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出质点在最低点时的速度，两物体碰撞过程机械能守恒，由机械能守恒定律可以求出两物体的质量之比．
（2）物体B离开轨道后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出物体的位置．

解答 解：（1）物体B恰好到达最高点，在最高点，由牛顿第二定律得：Mg=M$\frac{{v}_{B}}{R}$，
代入数据解得：v_B=$\sqrt{5}$m/s，
从最低点到最高点过程中，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv²=Mg•2R+$\frac{1}{2}$Mv_B²，
代入数据解得：v=5m/s，
两物体碰撞过程动量守恒，以两物体组成的系统为研究对象，以物体m的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv₁+Mv，
解得：$\frac{m}{M}$=$\frac{v}{{v}_{0}-{v}_{1}}$=$\frac{5}{15-（-5）}$=$\frac{1}{4}$；
（2）物体B离开轨道后做平抛运动，
在竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
在水平方向：x=v_Bt，
代入数据解得：x=1m；
答：（1）要使物体B碰撞后，恰能沿半圆形轨道运动到最高点，则两物体的质量之比$\frac{m}{M}$是1：4；
（2）在上述条件下，物体B落回到水平面的位置距半圆形轨道底端的距离是1m．

点评 本题考查了求物体的质量之比、求物体的水平位移，分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，应用机械能守恒定律（或动能定理）、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．