Question

15．已知月球和同步卫星的公转周期之比为k，月球和地球同步卫星绕地球运动的轨道都视为圆，则下列说法正确的是（　　）

• A． 月球和地球同步卫星的角速度之比为k^-1
• B． 月球和地球同步卫星的向心加速度之比为k${\;}^{-\frac{1}{3}}$
• C． 月球和地球同步卫星的线速度之比为k${\;}^{\frac{1}{3}}$
• D． 月球和地球同步卫星的轨道半径之比为k${\;}^{\frac{1}{2}}$

Answer 1

分析 卫星绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，根据周期关系得出半径关系，再展开讨论即可．

解答 解：D、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，月球和同步卫星的公转周期之比为k，则月球和地球同步卫星的轨道半径之比为${k}^{\frac{2}{3}}$，故D错误；
A、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=ma
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
可知月球和地球同步卫星的角速度之比为k^-1，月球和地球同步卫星的向心加速度之比为${k}^{-\frac{4}{3}}$，月球和地球同步卫星的线速度之比为${k}^{-\frac{1}{3}}$，故A正确，BCD错误．
故选：A

点评 在万有引力应用中，对于卫星问题应牢记万有引力提供向心力，解决问题的核心是$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=mω²r=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，难度适中．