Question

1．如图，在大气中有一水平固定着的气缸，它由a、b和c三个粗细不同的中空圆柱连接而成，a、b、c的内横截面积分别为2S、$\frac{1}{2}$S和S，两活塞甲和乙用一根长为5L的轻细杆相连，把一定质量的理想气体封闭在两活塞之间的气缸内，此时理想气体的热力学温度为T₀，两活塞的位置如图所示．（已知外界大气压强恒为p₀，活塞与圆筒壁之间不漏气且摩擦可忽略，气缸左右两边都足够长）
（1）现对被封闭的理想气体缓慢加热，但活塞乙向左移动的距离刚好为2L时，求封闭气体的温度
（2）当气体温度缓慢上升到2T₀时，求轻细杆对活塞甲的作用力．

Answer 1

分析 （1）对活塞甲、乙根据平衡条件列式，即可求出封闭气体压强；活塞向左移动，气缸内的气体发生等压变化，根据盖-吕萨克定律即可求解活塞乙向左移动距离刚好为2L时，封闭气体的温度；
（2）气缸气体发生等容变化，由查理定律求出温度为2${T}_{0}^{\;}$时的气体压强，再对活塞甲根据受力平衡求出两活塞之间细杆对活塞甲的作用力；

解答 解：（1）设加热前，被封闭气体的压强为${p}_{1}^{\;}$，细杆对两活塞的作用力大小为F，根据平衡条件有：
对活塞甲：${p}_{1}^{\;}•2S+F={p}_{0}^{\;}•2S$①
对活塞乙：${p}_{1}^{\;}S+F={p}_{0}^{\;}S$②
解得：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}$，F=0
即被封闭气体的压强与大气压强相等，细杆对两活塞的作用力为0，这时气体的体积为：${V}_{1}^{\;}=L•2S+2L•\frac{1}{2}S+2L•S=5LS$
对气体加热时，被密封气体温度缓慢升高，两活塞一起向左缓慢移动，气体体积增大，压强保持${p}_{1}^{\;}$不变，若持续加热，此过程会一直持续到活塞向左移动的距离等于2L为止，这时气体的体积为：${V}_{2}^{\;}=3L•2S+2L•\frac{1}{2}S=7SL$
根据盖-吕萨克定律得：$\frac{{V}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\frac{{V}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}$
代入数据：$\frac{5LS}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{7SL}{{T}_{2}^{\;}}$
解得：${T}_{2}^{\;}=\frac{7{T}_{0}^{\;}}{5}$
（2）由于$T=2{T}_{0}^{\;}$时，活塞已无法移动，被密封气体的体积保持${V}_{2}^{\;}$不变，由查理定律得：
$\frac{{p}_{2}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\frac{{P}_{3}^{\;}}{{T}_{3}^{\;}}$
代入数据：$\frac{{p}_{0}^{\;}}{\frac{7{T}_{0}^{\;}}{5}}=\frac{{p}_{3}^{\;}}{2{T}_{0}^{\;}}$
解得：${p}_{3}^{\;}=\frac{10}{7}{p}_{0}^{\;}$
对活塞甲：${p}_{3}^{\;}•2S+F′={p}_{0}^{\;}•2S$得$F′=-\frac{6}{7}{p}_{0}^{\;}S$
负号表示细杆对活塞A的作用力方向向右（即表现为拉力）
答：（1）现对被封闭的理想气体缓慢加热，但活塞乙向左移动的距离刚好为2L时，封闭气体的温度$\frac{7{T}_{0}^{\;}}{5}$
（2）当气体温度缓慢上升到2T₀时，轻细杆对活塞甲的作用力表现为拉力，大小为$\frac{6}{7}{p}_{0}^{\;}S$．

点评 本题重点在于对被封闭气体状态变化的讨论，依据给定的情形，气体会做两种变化：1、等压变化．2、等容变化．能讨论出来这两点是本题的关键．