Question

2．在竖直平面内有一半径为R的光滑圆环轨道，一质量为m的小球穿在圆环轨道上做圆周运动，达最高点C时的速率V_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$，则下述正确的是（　　）

• A． 此球的最大速率是$\sqrt{6}$V_c
• B． 小球到达C点时对轨道的压力是$\frac{4mg}{5}$
• C． 小球在任一直径两端点上的动能之和相等
• D． 小球沿圆轨道绕行一周所用的时间小于π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$

Answer 1

分析 小球运动过程中机械能守恒，小球在最低点时具有最大速率；
根据牛顿第二定律和牛顿第三定律求小球到达C点时对轨道的压力；

解答 解：A、根据机械能守恒：mg2R+$\frac{1}{2}$mv_c²=$\frac{1}{2}$mv²
得：v=$\sqrt{\frac{24gR}{5}}$=$\sqrt{6}$v_c
A正确；
B、对小球在C点时，根据 牛顿第二定律：mg+F=m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
得：F=$\frac{1}{5}$mg
根据牛顿第三定律小球到达C点时对轨道的压力是$\frac{1}{5}$mg；B错误；
C、小球在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒，小球在任一直径两端点上的动能之和相等，C正确；
D、由周期T=$\frac{2πR}{v}$，当圆环以速度最小v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$做匀速圆周运动时周期最小，v_c=$\sqrt{\frac{4gR}{5}}$代入T=$\frac{2πR}{v}$，计算可得T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，由于小球离开最高点后速度在变大，所以T要减小，所以T＜T=π$\sqrt{\frac{5R}{g}}$，故D正确．
故选：ACD．

点评 小球穿在圆环轨道上做圆周运动，属于杆的模型，在最高点时速度最小，向心力最小，最低点时速度最大，向心力最大，由机械能守恒可以求它们之间的关系．