Question

2．某杂技团表演的节目可以简化为如图所示的情况：两名质量不等的演员被等长的轻绳悬在空中，相距很近，若两人相互推了一下，将各自向后摆动，已知质量为m的演员最大摆角为α，质量为km的演员最大摆角为β，轻绳长度为L，不计气阻力．人可视为质点，重力加速度为g，求：
①两演员的质量之比k．
②两人相互作用过程中做的总功．

Answer 1

分析 ①两个演员分开的过程中水平方向的动量守恒，分开后都做单摆运动，机械能守恒，分别列出公式即可求出两演员的质量之比k；
②演员在分开后从最低点到最高点的过程中机械能守恒，由演员的高度即可求出他们的机械能，再结合功能关系即可求出两人相互作用过程中做的总功．

解答 解：①两个演员分开的过程中水平方向的动量守恒，设二人刚刚分开时速度的大小分别为v₁和v₂，则：mv₁=km•v₂
分开后的机械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mgl（1-cosα）$
$\frac{1}{2}km{v}_{2}^{2}=kmgl（1-cosβ）$
联立得：k=$\sqrt{\frac{1-cosα}{1-cosβ}}$
②两个演员分开的过程中做的总功转化为它们的动能，在上升的过程中又转化为重力势能．
演员在到达最高点时的重力势能分别为：E_P1=mgl（1-cosα）和E_P2=kmgl（1-cosβ）
所以两个演员分开的过程中做的总功：W=E_P1+E_P2
联立可得：W=mgl（1-cosα）+kmgl（1-cosβ）=mgl[1-cosα+$\sqrt{（1-cosα）（1-cosβ）}$]
答：①两演员的质量之比是$\sqrt{\frac{1-cosα}{1-cosβ}}$．
②两人相互作用过程中做的总功是mgl[1-cosα+$\sqrt{（1-cosα）（1-cosβ）}$]．

点评 该题结合功能关系考查动量守恒定律，解答的关键是能够正确写出二人在最高点时的重力势能的表达式．
另外，由于二人的初速度都是0，动量守恒的表达式常常写成：m₁v₁=m₂v₂的形式，而不是：m₁v₁-m₂v₂=0的形式．