题目内容
（2006?盐城一模）如图所示在xoy所在的平面内，有两根金属丝MN和PQ，其形状分别满足方程y=asin| 2πx |
| λ |
| 2πx |
| λ |
（1）用法拉第电磁感应定律证明，金属丝上的感应电流是正弦式电流．
（2）求将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功．
（3）假设仅在
| λ |
| 2 |
分析：（1）根据法拉第电磁感应定律表示出感应电动势e的大小，再由欧姆定律得到感应电流的大小表达式．即可证明．
（2）由上题结果可知金属丝中感应电流的最大值Im，可求得有效值I=
Im，根据焦耳定律求两电阻丝的发热量，根据能量守恒得知，线框匀速运动时外力所做的功等于总热量．
（3）先求出两金属丝拉入或拉出磁场时，感应电动势的最大值，得到有效值，根据焦耳定律求得外力做功；再用同样的方法求出线框通过磁场时外力做功，即可求得外力所做的总功．
（2）由上题结果可知金属丝中感应电流的最大值Im，可求得有效值I=
| ||
| 2 |
（3）先求出两金属丝拉入或拉出磁场时，感应电动势的最大值，得到有效值，根据焦耳定律求得外力做功；再用同样的方法求出线框通过磁场时外力做功，即可求得外力所做的总功．
解答：解：（1）在t-t+△t时间间隔内
△Φt=BLv△t=B?2asin
?v△t=2Bavsin
△t
据法拉第电磁感应定律E=
得
e=2Bavsin
t
感应电流i=
=
sin
t
可见金属丝上的感应电流是正弦式电流．证毕．
（2）由上知：感应电流的最大值Im=
，有效值为I=
Im=
根据功能关系得：W=Q=I2R总t=(
)2?（2R）?
=
（3）①将两金属丝拉入或拉出磁场区域的过程中，感应电动势最大值为
Em1=2Bav
感应电流最大值 Im1=
=
拉力做功 W1=Q1=(
)2?(2R)?
=
②拉金属丝穿过磁场区域的过程中，感应电动势最大值为Em2=4Bav
感应电流最大值 Im2=2
拉力做功 W2=Q2=(
)2?（2R）?
=
故将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
W′=2W1+W2=2?
+
=
答：
（1）证明略．
（2）将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功为
．
（3）将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
．
△Φt=BLv△t=B?2asin
| 2πx |
| λ |
| 2πvt |
| λ |
据法拉第电磁感应定律E=
| △Φ |
| △t |
e=2Bavsin
| 2πv |
| λ |
感应电流i=
| e |
| R+R |
| Bav |
| R |
| 2πv |
| λ |
可见金属丝上的感应电流是正弦式电流．证毕．
（2）由上知：感应电流的最大值Im=
| Bav |
| R |
| ||
| 2 |
| ||
| 2R |
根据功能关系得：W=Q=I2R总t=(
| ||
| 2R |
| 2λ |
| v |
| 2B2a2vλ |
| R |
（3）①将两金属丝拉入或拉出磁场区域的过程中，感应电动势最大值为
Em1=2Bav
感应电流最大值 Im1=
| Em1 |
| 2R |
| Bav |
| R |
拉力做功 W1=Q1=(
| Im1 | ||
|
| 0.5λ |
| v |
| B2a2vλ |
| 2R |
②拉金属丝穿过磁场区域的过程中，感应电动势最大值为Em2=4Bav
感应电流最大值 Im2=2
| Bav |
| R |
拉力做功 W2=Q2=(
| Im1 | ||
|
| 1.5λ |
| v |
| 6B2a2vλ |
| R |
故将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
W′=2W1+W2=2?
| B2a2vλ |
| 2R |
| 6B2a2vλ |
| R |
| 7B2a2vλ |
| R |
答：
（1）证明略．
（2）将两金属丝全部拉入磁场中，外力所做的功为
| 2B2a2vλ |
| R |
（3）将两金属丝以速度v匀速拉过磁场外力所做的功为
| 7B2a2vλ |
| R |
点评：本题关键是运用法拉第定律得到感应电流的表达式，判断出产生了正弦式电流，求电功时应用有效值．
练习册系列答案
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