Question

2．如图所示，光滑半圆轨道MNP竖直固定在水平面上，直径MP垂直于水平面，轨道半径R=0.5m．质量为m₁的小球A静止于轨道最低点M，质量为m₂的小球B以速度v₀=4m/s从与P点的等高处沿光滑曲面下滑，小球B与小球A碰后粘在一起恰能沿半圆轨道运动到P点．两球均可视为质点，g=10m/s²．试求：
①B球与A球相碰前速度的大小；
②A、B两球的质量之比m₁：m₂．

Answer 1

分析 根据动能定理求出B球与A球相碰前的速度大小．
根据牛顿第二定律求出最高点P的速度，结合机械能守恒求出碰撞后整体的速度，再对两球碰撞前后运用动量守恒定律，求出A、B两球的质量之比．

解答 解：①根据动能定理得，${m}_{2}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{0}}^{2}$，
代入数据解得v₁=6m/s．
②根据$（{m}_{1}+{m}_{2}）g=（{m}_{1}+{m}_{2}）\frac{{{v}_{P}}^{2}}{R}$，解得${v}_{P}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}m/s$．
根据机械能守恒定律得，$（{m}_{1}+{m}_{2}）g•2R+\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{p}}^{2}$=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{{v}_{2}}^{2}$，
代入数据解得v₂=$\sqrt{5gR}=\sqrt{5×10×0.5}m/s=5m/s$．
规定碰撞前B的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得，m₂v₁=（m₁+m₂）v₂，
代入数据解得m₁：m₂=1：5．
答：①B球与A球相碰前速度的大小为6m/s；
②A、B两球的质量之比m₁：m₂为1：5．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒、动量守恒定律、牛顿第二定律的综合运用，关键理清A、B的运动过程，选择合适的规律进行求解，本题难度不大．