题目内容
8．
如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有一个磁感应强度大小B=0.2T的矩形区域的匀强磁场（图中未画出），其方向垂直于xOy平面向里；第二象限有一匀强电场，电场强度的大小E=2×103 V/m．在y轴上的P点处有一个质量m=4×10-20kg、电荷量q=2×10-14C的带正电粒子垂直于y轴以V0=3×104 m/s的速度沿x轴的正方向射入第一象限，粒子飞出磁场区域后又恰好回到y轴上的P点，再以垂直于电场的方向进入第二象限，最后垂直打在x轴上的A点．已知粒子在电场中经历的时间t=$\sqrt{3}$×10-5s，A点坐标为（-$\frac{3\sqrt{3}}{40}$m，0），粒子的重力不计，求：（结果可保留根号）（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r和从P点进入第二象限时速度与y轴负方向的夹角θ．
（2）粒子在xOy平面的第一象限内运动的时间t0．
（3）粒子在矩形磁场区域内做圆周运动的圆心位置坐标．
分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径；粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动的规律求出粒子速度方向与y轴负方向的夹角．
（2）作出粒子运动轨迹，应用匀速匀速运动的速度公式与粒子做圆周运动的周期公式求出粒子的运动时间．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律，根据粒子运动轨迹与几何知识求出粒子做圆周运动的圆心坐标．
解答 解：（1）粒子运动轨迹如图所示，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，代入数据解得：r=0.3m，
由题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，
由牛顿第二定律得：qE=ma，
tanθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{qEt}{m{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：θ=$\frac{π}{6}$；
（2）根据图示粒子运动轨迹，由几何知识得：
α=$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{π}{3}$，PB=CP=$\frac{r}{tan\frac{α}{2}}$=$\sqrt{3}$r，
粒子在第一象限内的运动时间：
t0=$\frac{PB+CP}{{v}_{0}}$+$\frac{[2π-（π-α）]r}{{v}_{0}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}）r}{{v}_{0}}$=7.65×10-5s；
（3）粒子在电场中做类平抛运动，
PQ=v0t QA=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t2，
PA2=PQ2+AQ2=PO2+OA2，
代入数据解得：PO=$\frac{21}{40}$m，
粒子在磁场中做圆周运动的圆心D的横坐标：
x=PB=$\sqrt{3}$r=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，纵坐标：y=PO+r=$\frac{33}{40}$m，
圆心D的坐标：（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，$\frac{33}{40}$m）；
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径r为0.3m，从P点进入第二象限时速度与y轴负方向的夹角θ为$\frac{π}{6}$．
（2）粒子在xOy平面的第一象限内运动的时间t0为7.65×10-5s．
（3）粒子在矩形磁场区域内做圆周运动的圆心位置坐标为：（$\frac{3\sqrt{3}}{10}$m，$\frac{33}{40}$m）．
点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，由于粒子运动过程复杂，本题难度较大，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键；应用牛顿第二定律、类平抛运动规律即可解题；解题时注意几何知识的应用．
名校课堂系列答案| A． | 0.02s | B． | 0.1s | C． | 0.5s | D． | 2s |
| A． | 物体受到的合外力为恒力，物体一定做直线运动 | |
| B． | 物体受到的合外力方向变化，物体一定做曲线运动 | |
| C． | 作曲线运动的物体速度方向和加速度方向一定不相同 | |
| D． | 作曲线运动的物体速度方向在不同时刻一定不相同 |
| A． | $\frac{{π}^{2}（8R+ct）^{3}}{2G{T}^{2}}$ | B． | $\frac{4{π}^{2}（8R+ct）^{3}}{G{T}^{2}}$ | C． | $\frac{{π}^{2}（2R+ct）^{3}}{2G{T}^{2}}$ | D． | $\frac{{π}^{2}（4R+ct）^{2}}{G{T}^{2}}$ |
如图所示，斜面AB长为L=10m，斜角θ=30°，一物体以初速度v0=12.75m/s由底端沿斜面上滑，若物体和斜面间的动摩擦因数μ=0.4，求：经过时间t=2s后物体的位移和速度（g=10m/s2）
在xOy平面内，第Ⅲ象限内的直线OM是电场与磁场的边界，OM与y轴负方向成450角．在x＜0且OM的左侧空间存在着沿x轴负方向的匀强电场E，场强大小为E=0.32N/C，在y＜0且OM的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B，磁感应强度大小为B=0.10T，如图所示，不计重力的带负电的微粒，从坐标原点O沿y轴负方向以υ0=2.0×103m/s的初速度进入磁场，已知微粒的带电荷量为q=5.0×10-18C，质量为m=1.0×10-24kg．（电、磁场区域足够大）求：
如图所示，是一小型发电机对外供电的示意图，ab=15cm，cd=10cm，匝数为50匝的矩形线圈，线圈电阻r=1Ω、外电路电阻R=9Ω，磁感应强度B=0.4T，线圈绕垂直于磁感线的轴OO′以角速度ω=50rad/s匀速转动，求：