Question

8．发射同步卫星时，大致分为三个步骤：先将卫星发射到近地卫星轨道作匀速圆周运动，之后变轨到椭圆轨道，最后再变轨到同步卫星轨道作匀速圆周运动．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，地球自转周期为T，使用这三个已知量，求：
（1）卫星在近地卫星轨道绕地球运行时的速率；
（2）卫星在同步卫星轨道绕地球飞行时离地面的高度h；
（3）卫星在同步卫星轨道绕地球飞行时的速度．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，即可求解运行的速率；
根据万有引力提供向心力，结合同步卫星的周期，即可求解；
根据万有引力提供向心力，结合高度，即可求解

解答 解：（1）对卫星，根据万有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{V}^{2}}{R}$
在地球表面物体所受重力等于万有引力，即
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
联立得
V=$\sqrt{gR}$
（2）对同步卫星，根据万有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得
h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
（3）由（2）得同步卫星的轨道半径为
r=R+h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
所以同步卫星的运行速率为
V=$\frac{2πr}{T}$=$2π\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{4{π}^{2}T}}$
答：（1）卫星在近地卫星轨道绕地球运行时的速率$\sqrt{gR}$；
（2）卫星在同步卫星轨道绕地球飞行时离地面的高度$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$；
（3）卫星在同步卫星轨道绕地球飞行时的速度$2π\root{3}{\frac{g{R}^{2}}{4{π}^{2}T}}$．

点评 考查万有引力定律的应用，掌握牛顿第二定律的内容，理解万有引力提供向心力的做匀速圆周运动，注意要结合题意来合理书写向心力表达式