Question

17．如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个重为W的垃圾桶倒顶在空中．水以速率v₀、恒定的质量增率（即单位时间喷出的质量）$\frac{△m}{△t}$从地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高度．设水柱喷到桶底后以相同的速率反弹．

Answer 1

分析 设垃圾桶可停留的最大高度为h．由运动学公式表示出h与速度的关系．研究极短时间内水受到的冲量，根据冲力等于垃圾桶的重力，求出水的速度，从而求得高度．

解答 解：设垃圾桶可停留的最大高度为h，并设水柱到达h高处的速率为v，则v满足：
    v²-v₀²=-2gh
得 v²=v₀²-2gh
由动量定理得：在极短时间△t内，水受到的冲量为
   F△t=2（$\frac{△m}{△t}$•△t）v
解得 F=2$\frac{△m}{△t}$•v=2$\frac{△m}{△t}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2gh}$
据题有 F=Mg
联立解得  h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{{M}^{2}g}{8}（\frac{△t}{△m}）^{2}$
答：垃圾桶可停留的最大高度是$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$-$\frac{{M}^{2}g}{8}（\frac{△t}{△m}）^{2}$．

点评 本题要理清题意，建立物理模型：竖直上抛运动和碰撞的综合，运用运动学公式和动量定理结合研究．