题目内容
如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图． 一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机产生的压强差p使得这个流体具有恒定的流速v．管道的前后两个侧面上各有长为L的由铜组成的面，实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设：a．尽管流体有粘滞性，但整个横截面上的速度均匀；
b．流体的速度总是与作用在其上的合外力成正比；
c．导体的电阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分别为导体的电阻率、长度和横截面积；
d．流体不可压缩．
若由铜组成的前后两个侧面外部短路，一个竖直向上的匀强磁场只加在这两个铜面之间的区域，磁感强度为B（如图）．
（1）写出加磁场后，两个铜面之间区域的电阻R的表达式
（2）加磁场后，假设新的稳定速度为v，写出流体所受的磁场力F与v关系式，指出F的方向
（3）写出加磁场后流体新的稳定速度v的表达式（用v、p、L、B、ρ表示）；
（4）为使速度增加到原来的值v，涡轮机的功率必须增加，写出功率增加量的表达式（用v、a、b、L、B和ρ表示）．
【答案】分析：（1）根据电阻定律求出两个铜面之间区域的电阻R的表达式．
（2）结合安培力的大小公式，以及
求出磁场力F与v关系式．根据左手定则得出磁场力的方向．
（3）不加磁场时，压力差等于kv，施加磁场时，压力差与安培力的合力等于kv，根据这两个关系求出新的稳定速度v的表达式．
（4）功率的增加量等于压力差功率的增加量，根据压力差的变化求出功率增加量的表达式．
解答：解：（1）根据电阻定律得，R=
，
（2）∵FA=BIa，
．
再利用（1）的结论，可推得
∴
．
力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）不加磁场时：pab=kv．
加磁场时：pab-FA=kv．
由上面二式，得
．
再利用（2）的结论，可推得
．
（4）∵△P=P2-P1，P1=pabv，P2=p′abv，
∴△P=（p′ab-pab）v．
∵p′ab-FA′=kv，pab=kv，
∴△P=FA′v．
∵
．
∴
．
答：（1）两个铜面之间区域的电阻R的表达式R=
．
（2）流体所受的磁场力F与v关系式
，力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）加磁场后流体新的稳定速度v的表达式
．
（4）功率增加量的表达式
．
点评：解决本题的关键掌握电阻定律、安培力大小和方向的判断，难点在于通过平衡求出流体新的稳定速度v的表达式．
（2）结合安培力的大小公式，以及
求出磁场力F与v关系式．根据左手定则得出磁场力的方向．（3）不加磁场时，压力差等于kv，施加磁场时，压力差与安培力的合力等于kv，根据这两个关系求出新的稳定速度v的表达式．
（4）功率的增加量等于压力差功率的增加量，根据压力差的变化求出功率增加量的表达式．
解答：解：（1）根据电阻定律得，R=
，（2）∵FA=BIa，
．再利用（1）的结论，可推得
∴
．力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）不加磁场时：pab=kv．
加磁场时：pab-FA=kv．
由上面二式，得
．再利用（2）的结论，可推得
． （4）∵△P=P2-P1，P1=pabv，P2=p′abv，
∴△P=（p′ab-pab）v．
∵p′ab-FA′=kv，pab=kv，
∴△P=FA′v．
∵
．∴
． 答：（1）两个铜面之间区域的电阻R的表达式R=
．（2）流体所受的磁场力F与v关系式
，力FA的方向与流速v的方向反向．（3）加磁场后流体新的稳定速度v的表达式
．（4）功率增加量的表达式
．点评：解决本题的关键掌握电阻定律、安培力大小和方向的判断，难点在于通过平衡求出流体新的稳定速度v的表达式．
练习册系列答案
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