题目内容
（2013?静安区二模）如图所示，是磁流体动力发电机的工作原理图． 一个水平放置的上下、前后封闭的矩形塑料管，其宽度为a，高度为b，其内充满电阻率为ρ的水银，由涡轮机产生的压强差p使得这个流体具有恒定的流速v0．管道的前后两个侧面上各有长为L的由铜组成的面，实际流体的运动非常复杂，为简化起见作如下假设：a．尽管流体有粘滞性，但整个横截面上的速度均匀；
b．流体的速度总是与作用在其上的合外力成正比；
c．导体的电阻：R=ρl/S，其中ρ、l和S分别为导体的电阻率、长度和横截面积；
d．流体不可压缩．
若由铜组成的前后两个侧面外部短路，一个竖直向上的匀强磁场只加在这两个铜面之间的区域，磁感强度为B（如图）．
（1）写出加磁场后，两个铜面之间区域的电阻R的表达式
（2）加磁场后，假设新的稳定速度为v，写出流体所受的磁场力F与v关系式，指出F的方向
（3）写出加磁场后流体新的稳定速度v的表达式（用v0、p、L、B、ρ表示）；
（4）为使速度增加到原来的值v0，涡轮机的功率必须增加，写出功率增加量的表达式（用v0、a、b、L、B和ρ表示）．
分析：（1）根据电阻定律求出两个铜面之间区域的电阻R的表达式．
（2）结合安培力的大小公式，以及I=
求出磁场力F与v关系式．根据左手定则得出磁场力的方向．
（3）不加磁场时，压力差等于kv0，施加磁场时，压力差与安培力的合力等于kv，根据这两个关系求出新的稳定速度v的表达式．
（4）功率的增加量等于压力差功率的增加量，根据压力差的变化求出功率增加量的表达式．
（2）结合安培力的大小公式，以及I=
| Bav |
| R |
（3）不加磁场时，压力差等于kv0，施加磁场时，压力差与安培力的合力等于kv，根据这两个关系求出新的稳定速度v的表达式．
（4）功率的增加量等于压力差功率的增加量，根据压力差的变化求出功率增加量的表达式．
解答：解：（1）根据电阻定律得，R=ρ
，
（2）∵FA=BIa，
I=
．
再利用（1）的结论，可推得
∴FA=
abLvB2．
力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）不加磁场时：pab=kv0．
加磁场时：pab-FA=kv．
由上面二式，得FA=pab-
v．
再利用（2）的结论，可推得
v=
．
（4）∵△P=P2-P1，P1=pabv0，P2=p′abv0，
∴△P=（p′ab-pab）v0．
∵p′ab-FA′=kv0，pab=kv0，
∴△P=FA′v0．
∵FA′=
abLv0B2．
∴△P=
abLv02B2．
答：（1）两个铜面之间区域的电阻R的表达式R=ρ
．
（2）流体所受的磁场力F与v关系式FA=
abLvB2，力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）加磁场后流体新的稳定速度v的表达式v=
．
（4）功率增加量的表达式△P=
abLv02B2．
| a |
| bL |
（2）∵FA=BIa，
I=
| Bav |
| R |
再利用（1）的结论，可推得
∴FA=
| 1 |
| ρ |
力FA的方向与流速v的方向反向．
（3）不加磁场时：pab=kv0．
加磁场时：pab-FA=kv．
由上面二式，得FA=pab-
| pab |
| v0 |
再利用（2）的结论，可推得
v=
| pρv0 |
| pρ+Lv0B2 |
（4）∵△P=P2-P1，P1=pabv0，P2=p′abv0，
∴△P=（p′ab-pab）v0．
∵p′ab-FA′=kv0，pab=kv0，
∴△P=FA′v0．
∵FA′=
| 1 |
| ρ |
∴△P=
| 1 |
| ρ |
答：（1）两个铜面之间区域的电阻R的表达式R=ρ
| a |
| bL |
（2）流体所受的磁场力F与v关系式FA=
| 1 |
| ρ |
（3）加磁场后流体新的稳定速度v的表达式v=
| pρv0 |
| pρ+Lv0B2 |
（4）功率增加量的表达式△P=
| 1 |
| ρ |
点评：解决本题的关键掌握电阻定律、安培力大小和方向的判断，难点在于通过平衡求出流体新的稳定速度v的表达式．
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