Question

18．在万有引力定律研究太阳系中的行星围绕太阳运动时，我们可以根据地球的公转周期，求出地球的质量．在运算过程中，采用理想化方法，把太阳和地球看成质点，还做了把地球的运动简化为匀速圆周运动和忽略其它星体对地球的万有引力的简化处理．有一人造天体飞临某个行星，并进入该行星的表面圆轨道，测出该天体绕行星运行一周所用的时间为T，则这颗行星的密度是$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．

Answer 1

分析 地球绕太阳的运动轨道是椭圆，且速率不等，而我们在处理时，把地球的运动简化为匀速圆周运动，并且忽略其它星体对地球的万有引力，人造天体绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量，根据密度公式求出密度．

解答 解：地球绕太阳的运动轨道是椭圆，且在近日点速度比较快，远日点速度比较慢，而我们在处理时，把地球的运动简化为匀速圆周运动，并且忽略其它星体对地球的万有引力，
研究人造天体绕行星表面做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
根据密度公式得：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
联立方程解得：$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故答案为：把地球的运动简化为匀速圆周运动；忽略其它星体对地球的万有引力；$\frac{3π}{G{T}^{2}}$

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．在行星表面运动，轨道半径可以认为就是行星的半径