Question

14．如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为2v₀．小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为μ．乙的宽度足够大，重力加速度为g．
（1）若乙的速度为2v₀，求工件在乙上侧向（ 垂直于乙的运动方向）滑过的距离 s；
（2）若乙的速度为4v₀，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v；
（3）保持乙的速度4v₀不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此反复．若每个工件的质量均为m，除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗均不计，求驱动乙的电动机的平均输出功率$\overline{P}$．

Answer 1

分析 （1）工件滑动传送带乙，沿传送带方向相对传送带向后滑，垂直传送带方向相对传送带向前滑，可知摩擦力与侧向的夹角为45度，根据牛顿第二定律得出侧向的加速度，结合速度位移公式求出侧向上滑过的距离．
（2）结合纵向加速度与侧向加速度的比值与两个方向上速度的变化量比值相同，得出摩擦力的方向保持不变，从而得出相对传送带侧向速度为零，则相对传送带沿传送带方向速度为零，从而得出此时的速度大小．
（3）结合工件在侧向和沿乙方向上的加速度，结合速度位移公式得出在两个方向上的位移，从而得出工件相对乙的位移，根据功能关系，求出电动机做功的大小，结合工件滑动的时间求出平均功率的大小．

解答 解：（1）摩擦力与侧向的夹角为45°，
侧向加速度大小a_x=μgcos45°，
根据$-2{a}_{x}s=0-（2{{v}_{0}）}^{2}$，解得s=$\frac{2\sqrt{2}{{v}_{0}}^{2}}{μg}$．
（2）设t=0时刻摩擦力与侧向的夹角为θ，侧向、纵向加速度大小分别为a_x、a_y，
则$\frac{{a}_{y}}{{a}_{x}}=tanθ$，
很小的△t时间内，侧向、纵向的速度增量△v_x=a_x△t，△v_y=a_y△t，
解得$\frac{△{v}_{y}}{△{v}_{x}}=tanθ$．
且由题意知，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，则$\frac{{v}_{y}′}{{v}_{x}′}=\frac{{v}_{y}-△{v}_{y}}{{v}_{x}-△{v}_{x}}=tanθ$，
所以摩擦力方向保持不变，
则当v_x′=0时，v_y′=0，即v=4v₀．
（3）工件在乙上滑动时侧向位移为x，沿乙方向的位移为y，
由题意知，a_x=μgcosθ，a_y=μgsinθ，
在侧向上$-2{a}_{x}s=0-{（4{v}_{0}）}^{2}$，在纵向上，$2{a}_{y}y={（4{v}_{0}）}^{2}-0$
工件滑动时间$t=\frac{4{v}_{0}}{{a}_{y}}$，乙前进的距离y₁=4v₀t．
工件相对乙的位移L=$\sqrt{{x}^{2}+（{y}_{1}-y）^{2}}$，
则系统摩擦生热Q=μmgL，
依据功能关系，则电动机做功：$W=\frac{1}{2}m{（4{v}_{0}）}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+Q$
由$\overline{P}=\frac{W}{t}$，解得$\overline{P}=\frac{8\sqrt{5}μmg{v}_{0}}{5}$．
答：（1）工件在乙上侧向（垂直于乙的运动方向）滑过的距离为$\frac{2\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{μg}$．
（2）工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v=4v₀．
（3）驱动乙的电动机的平均输出功率是$\frac{8\sqrt{5}μmg{v}_{0}}{5}$．

点评 本题考查工件在传送带上的相对运动问题，关键将工件的运动分解为沿传送带方向和垂直传送带方向，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，难度较大．