Question

6．如图所示，弯曲斜面与半径为R的竖直半圆组成光滑轨道，一个质量为m的小球从高度为4R的A点由静止释放，经过半圆的最高点D后作平抛运动落在水平面的E点，忽略空气阻力（重力加速度为g），求：
（1）小球在D点时的速度v_D；
（2）小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x；
（3）小球经过半圆轨道的C点（C点与圆心O在同一水平面）时对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）小球从A到D过程，只能重力做功，根据动能定理求小球在D点时的速度v_D．
（2）小球离开D点后做平抛运动，根据分位移的规律求落地点E离半圆轨道最低点B的位移x．
（3）从A到C根据动能定理求得小球经过C点的速度．在C点，由轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力．

解答 解：（1）小球从A到D，根据动能定理可得：
  mg（4R-2R）=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
整理可以得到：v_D=2$\sqrt{gR}$．
（2）小球离开D点后做平抛运动，根据平抛运动规律可以得到：
水平方向有：x=v_Dt
竖直方向有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
整理可以得到：x=4R．
（3）从A到C，根据动能定理得：mg（4R-R）=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
在C点，根据牛顿第二定律：N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
整理可以得到：N=6mg．
由牛顿第三定律可知，小球经过半圆轨道的C点时对轨道的压力为6mg．
答：
（1）小球在D点时的速度v_D是2$\sqrt{gR}$．
（2）小球落地点E离半圆轨道最低点B的位移x是4R；
（3）小球经过半圆轨道的C点（C点与圆心O在同一水平面）时对轨道的压力是6mg．

点评 本题考查了动能定理与平抛运动、圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，要明确圆周运动向心力的来源：指向圆心的合力，这是解决本题的关键．