Question

（2011?安庆二模）如图所示，一竖直光滑绝缘的管内有一劲度系数为k的绝缘弹簧，其下端固定于地面，上端与一质量为m，带电量为+q的小球A相连，整个空间存在一竖直向上的匀强电场，小球A静止时弹簧恰为原长．另一质量也为m的不带电的绝缘小球B从距A为x₀的P点由静止开始下落，与A发生碰撞后一起向下运动（全过程中小球A 的电量不发生变化，重力加速度为g）．
（1）若x₀已知，试求B与A碰撞过程中损失的机械能；
（2）若x₀未知，且B与A在最高点恰未分离，试求A、B运动到最高点时弹簧的形变量；
（3）在满足第（2）问的情况下，试求A、B运动过程中的最大速度．

Answer 1

分析：选择正确的研究对象．
分析物体的受力情况和运动过程．
由机械能守恒定律求得与A碰撞前B的速度．
根据动量守恒定律列出等式解决问题．

解答：解：（1）设匀强电场的场强为E，在碰撞前A静止时有：
   qE=mg      ①
解得：E=

mg

q

在与A碰撞前B的速度为v₀，由机械能守恒定律得：
mgx₀=

1

2

mv₀²
∴v0=

2gx0

   ②
B与A碰撞后共同速度为v₁，由动量守恒定律得：
mv₀=2mv₁                      ③
∴v₁=

1

2

v₀
B与A碰撞过程中损失的机械能△E为：
△E═

1

2

mv₀²-

1

2

2mv₁²=

1

2

mgx₀④
（2）A、B在最高点恰不分离，此时A、B加速度相等，且它们间的弹力为零，设此时弹簧的伸长量为x₁，则：对B：
mg=ma              ⑤
对A：mg+kx-qE=ma         ⑥
所以弹簧的伸长量为：x₁=

mg

k

（3）A、B一起运动过程中合外力为零时，具有最大速度v_m，设此时弹簧的压缩量为x₂，则：
   2mg-（qE+kx₂）=0          ⑦
∴x₂=

mg

k

由于x₁=x₂，说明A、B在最高点处与合外力为零处弹簧的弹性势能相等，对此过程由能量守恒定律得：
（2mg-qE）（x₁+x₂）=

1

2

2mv_m² ⑧
解得：v_m=g

2m k

答：（1）若x₀已知，B与A碰撞过程中损失的机械能是

1

2

mgx₀；
（2）若x₀未知，且B与A在最高点恰未分离，A、B运动到最高点时弹簧的形变量是

mg

k

；
（3）在满足第（2）问的情况下，A、B运动过程中的最大速度是g

2m k

．

点评：解决问题首先要清楚研究对象的运动过程．
我们要清楚运动过程中能量的转化，以便从能量守恒角度解决问题．
把动量守恒和能量守恒结合起来列出等式求解是常见的问题．