Question

10．南水北调应急供水工程关键项目PCCP（预应力钢筋混凝土管）管道工程已在部分标段安装成功．两名参加社会活动的中学生想了解一些有关南水北调工程的信息，但到达工地时工程已竣工．在待清理的废弃物中，一块从PCCP管道内壁脱落下来的圆弧形物体（如图所示）引起了他们的注意．二人决定利用随身携带的玻璃球和手表，通过对圆弧形物体的测量来确定PCCP管道的直径．在测量过程中有以下步骤：
（1）反复调整脱落物体各边的高度，将玻璃球放在物体上时，玻璃球能静止在最低点．
（2）上玻璃球从物体的某一位置由静止释放，并用手表从玻璃球经过最低点（填“最高点”或“最低点”）开始计时．
（3）若当地的重力加速度为g，玻璃球完成n次全振动的时间为t，则PCCP管的直径表达式为d=$\frac{g{t}^{2}}{2{n}^{2}{π}^{2}}$；已知g=π²，玻璃球在1分钟内完成20次全振动，则管径d=4.5m．

Answer 1

分析 利用小球在圆弧轨道的运动时间，借助于简谐运动的周期与摆长的关系，可求出PCCP管的直线．

解答 解：由简谐运动的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，可求出小球运动轨迹对应的圆弧半径；因此，玻璃球从物体的某一位置由静止释放，并用手表从玻璃球经过最低点开始计时，读出n个周期对应的时间t，从而算出小球运动的周期为：
T=$\frac{t}{n}$
则PCCP管的直径表达式为：
d=2R=2×$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
所以直径为：
d=$\frac{g{t}^{2}}{2{n}^{2}{π}^{2}}$
代入数据可求出，直径为：d=4.5m；
故答案为：（2）最低点；（3）d=$\frac{g{t}^{2}}{2{n}^{2}{π}^{2}}$，4.5．

点评 巧用简谐运动来间接去测量出圆弧对应的半径，但注意的是，小球运动的圆弧长不能太大，否则就不符合周期公式的条件．