Question

8．如图所示．水平放置的平行金属板A和B的间距为d、极板长为2d；金属板右侧有三块挡板MN、NP、PM围成一个等腰直角三角形区域，顶角∠NMP为直角．MN挡板上的中点处，有一个小孔K恰好位于B板右端点，已知水平挡板NP的长度为2$\sqrt{2}$a．由质量为m、带电量为+q的同种粒子组成的粒子束，以速度v₀从金属板A、B左端紧贴A板射入，不计粒子所受的重力，若在A、B板间加一恒定电压U，使粒子穿过电场后恰好能从小孔K进入三角形区域，将AB间视为匀强电场．求：
（1）恒定电压U的大小；
（2）现在三角形区域内加一垂直纸面的匀强磁场．要使从小孔K飞入的粒子经过磁场偏转后能直接（不与其他挡板碰撞）打到挡板MP上，求所加磁场的方向和磁感应强度大小的变化范围；
（3）以M为原点，沿MP方向建立x轴，求打到挡板MP上不同位置（用坐标x表示）的粒子在磁场中的运动时间（注：若sinα=x，则α=arcsinx）．

Answer 1

分析 （1）由题意可分析出带电粒子在两金属板间竖直方向的位移为d，水平方向的位移为2d，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，运用类平抛运动的知识可求出所施加的恒定电压．
（2）根据题意，首先运用速度的合成求出带电粒子进入三角形区域时的速度，由偏转方向和左手定则可得知磁场的方向；再找出两个临界半径，一是带电粒子偏转轨道与NP相切时的轨道半径，二是正好达到M点时的轨道半径，从而确定轨道半径的范围，由带电粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力公式，即可求出所加磁场的磁感应强度范围．
（3）由射入磁场时的速度方向和达到MP时的速度方向确定圆心，由几何关系找出半径R与x的关系式，以及在磁场中运动的偏转角，再通过运动时间、偏转角和周期T的关系求解时间．

解答 解：（1）带电粒子在AB间做类平抛运动，则有：
 2d=v₀t…①
  d=$\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}{t}^{2}$…②
由①②联立得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$…③
（2）设粒子在进入K时，竖直方向的分速度为v_y，则有：
  v_y=at=$\frac{qU}{md}$•$\frac{2d}{{v}_{0}}$=v₀…④
 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1
得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$…⑤
可知当θ=45°时，即粒子垂直MN板射入磁场时，要使粒子直接打到MP板上，根据左手定则，可知所加磁场的方向垂直纸面向内．如图所示，当粒子进入磁场后做匀速圆周运动，偏转半径最大时恰好与NP相切；偏转半径最小时，KM为运动圆周的直径，设最大半径为R_M，则由几何关系可知，△NMP与△NQO₁相似，则有：
  $\frac{a+{R}_{m}}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{{R}_{m}}{2a}$
得：R_m=（$\sqrt{2}$+1）a…⑥
因此，粒子做圆周运动的半径范围为：$\frac{a}{2}$＜R＜（$\sqrt{2}$+1）a …⑦
由于粒子在磁场中做圆周运动，故洛伦兹力提供向心力，即：
 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧
联立⑤⑥⑦⑧式可得所加磁场的磁感应强度范围为：$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qa}$＜B＜$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qa}$…⑨
（3）设粒子打到MP时，坐标为x，设偏转角为α，则由几何关系可得：
 （R-a）²+x²=R²，sin α=$\frac{x}{R}$…⑩
对应粒子在磁场中的运动时间为：t=$\frac{αR}{v}$T…（11）
由⑧⑩（11）三式可得：t=$\frac{{（x}^{2}+{a}^{2}）arcsin\frac{2ax}{{x}^{2}+{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a{v}_{0}}$…（12）
答：（1）恒定电压U的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）所加磁场的方向为垂直纸面向内，磁感应强度大小的变化范围为：$\frac{（2-\sqrt{2}）m{v}_{0}}{qa}$＜B＜$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}}{qa}$．
（3）打到挡板MP上不同位置（用坐标x表示）的粒子在磁场中的运动时间为$\frac{{（x}^{2}+{a}^{2}）arcsin\frac{2ax}{{x}^{2}+{a}^{2}}}{2\sqrt{2}a{v}_{0}}$．

点评 带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同．先分析受力情况再分析运动状态和运动过程（平衡、加速、减速，直线或曲线），然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法有两种，第一种利用力和运动的观点，选用牛顿第二定律和运动学公式求解；第二种利用能量转化的观点，选用动能定理和功能关系求解．