Question

10．如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm．导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中，一根电阻为r=0.1Ω的金属棒ab可紧贴导轨左右运动．两块相互平行的，相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻R=0.4Ω，其余电阻忽略不计．已知当金属棒ab不运动时，质量m=10g、带电量q=-10^-3C的小球以某一速度v₀沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10m/s²）
（1）小球的速度v₀的大小；
（2）若使小球在金属板间不偏转，求金属棒ab的速度大小和方向；
（3）若要使小球能射出金属板间，求金属棒ab 的速度大小和方向．

Answer 1

分析 （1）当金属棒ab不动时，小球在金属板间做平抛运动，根据水平位移和竖直位移，由运动学公式即可求得初速度v₀．
（2）若使小球在金属板间不偏转，小球在金属板间受力必须平衡，电场力应竖直向上，小球带负电，可判断出电容器极板的电性，由右手定则判断出金属棒ab的运动方向．根据欧姆定律得到板间电压与感应电动势的关系，对于小球，根据平衡条件列式，求解即可．
（3）若要使小球能从金属板间射出，可能从上板边缘射出，也可能从下板边缘射出，运用运动的分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合求出金属棒ab匀速运动的速度范围．

解答 解：（1）带电小球以AC中点以速度V₀做个平抛运动，
竖直方向：$h=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}g{t^2}$
得 $t=\sqrt{\frac{d}{g}}=\sqrt{\frac{0.1}{10}}S=0.1S$
水平方向：${v_0}=\frac{L}{t}=\frac{0.2}{0.1}m/s=2m/s$
（2）欲使小球不偏转，须小球在金属板间受力平衡，根据题意应使金属棒ab切割磁感线应产生感应电动势，从而使金属板A、C带电，在板间产生匀强电场，小球所受电场大小等于小球的重力．
由于小球带负电，电场力向上，所以电场方向向下，A板必须带正电，金属棒ab的a点应为感应电动势的正极，根据右手定则，金属棒ab应向右运动
设金属棒ab的速度为V₁，则：E=BLv₁
金属板A、C间的电压：U=$\frac{BL{v}_{1}}{R+r}$•R
金属板A、C间的电场 E_场=$\frac{U}{d}$
小球受力平衡：qE_场=mg
联立以上各式解得：v₁=$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=$\frac{10×1{0}^{-3}×10×（0.4+0.1）×0.1}{1{0}^{-3}×5×0.5×0.4}$=5m/s
（3）当金属棒ab的速度增大时，小球所受电场力大于小球的重力，小球将向上做类平抛运动，设金属棒ab的速度达到v₂，小球恰A金属板右边缘飞出．
根据小球运动的对称性，小球沿A板右边缘飞出和小球沿C板右边缘飞出，其运动加速度相同，
故有：qE_场-mg=mg
根据上式中结果得到：v₂=2$\frac{mg（R+r）d}{qBLR}$=2v₁=10m/s
所以若小球能射出金属板间，则金属棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s，方向向右．
答：（1）小球的速度v₀的大小2m/s；
（2）金属棒ab的速度大小5m/s和方向向右；
（3）若要使小球能射出金属板间，金属棒ab 的速度大小0≤v≤10m/s和方向向右．

点评 本题是平抛运动、电磁感应和类平抛运动、电路的综合，类平抛运动、平抛运动的研究方法相似：运动的合成和分解．但要注意加速度的区别，类平抛运动的加速度不是g，应根据牛顿第二定律求出．