Question

11．如图，在粗细均匀一端封闭的U形玻璃管中，用长为45cm的水银柱封闭有一段理想气体，U形管竖直放置，当温度为400K时，封闭空气柱长45cm．当温度升高到500K时，此时管中有水银，空气柱长多少厘米？当温度升高到多少K时，水银能全部从开口端溢出？（已知大气压强为75cmHg）

Answer 1

分析 （1）当温度升高到500K时，设水银柱全部在右侧竖管内，长度为h，结合几何关系求出气体的长度，然后由理想气体的状态方程即可求出；
（2）在温度升高的过程中，可能有两种情况：
a．温度升高的过程中水银一点点溢出，空气柱的长度也一点点的变长，水银柱恰好全部溢出时，气柱的长度为整个试管的长度；
b．温度升高的过程中，开始时水银一点点溢出，空气柱的长度也一点点的变长，而在某一个特殊点，剩余的水银一下子全部溢出．
由于第二种的情况存在一个极值，所以也可以先判定该极值，求出气体的长度，然后与试管的长度比较即可．

解答 解：（1）首先判断温度是否到500K时，水平部分管中还存在水银，可以假设水银柱刚好全部进入右侧竖直管中，设此时温度为T₀，则空气柱长度是50cm，由等压过程可得：$\frac{{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{V}_{2}}{{T}_{0}}$代入数据得：T₀=444 K
   因为T₀＜500K可假设到500K时空气柱长度是x，则有：
   初态：P₁=75+40=115 cmHg　 V₁=45 S　 T₁=400K
   末态：P₂=（115-x） cmHg　 V₂=（50+x） S　 T₂=500K
根据理想气体方程：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
联立得：x=14.1cm　 则空气柱长度为64.1cm．
（2）设温度升高到T₃时，管中剩余的水银柱的长度为L时，水银柱一下子全部溢出，此时气体的压强：P₃=P₀+L=75+L （cmHg）
气体的体积：V₃=（40+10+40-L）•S
由理想气体方程：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{{T}_{3}}$=C
可知，当P₃V₃的乘积最大时，对应的温度最高．而：P₃V₃=（75+L）•（90-L）
由二项式定理可知，当75+L=90-L时，即：L=7.5cm时，P₃V₃的乘积最大，此时：P₃=75+7.5=82.5cmHg，V₃=90S-7.5S=82.5S
由此可知，分析中的a假设是错误的，要考虑在某一个特殊点，剩余的水银一下子全部溢出的情况．
代入$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{3}{V}_{3}}{{T}_{3}}$得：T₃=6=526.1K
即当温度升高到526.1K时，剩余的7.5cm的水银柱将一下子全部溢出．
答：当温度升高到500K时，此时管中有水银，空气柱长64.1厘米；当温度升高到526.1K时，水银能全部从开口端溢出．

点评 该题考查理想气体的状态方程，该题中的第二问是一道非常容易出错的问题，很容易使人想到当空气柱的长度等于试管的总长度时，水银才溢出，而实际上并非如此．如果按照空气柱的长度等于试管的总长度时，水银才溢出，计算的结果将等于521.7K，是错误的．