题目内容
如图所示，质量为m，带电量为q（q＞0）的粒子（重力不计），从离坐标原点为1.5a的 y轴上的P点，以速度大小为v0，方向与y轴正方向成θ=30°射入xoy坐标的第一象限，经过一个在第一象限内，边界形状为等腰梯形方向与xoy坐标面垂直匀强磁场区域，然后沿-x方向经过坐标原点0，进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场中，其运动轨迹为虚线所示，该电场强度为E，方向沿-y轴方向，磁感应强度为B，方向垂直坐标面向外．（1）画出最小的等腰梯形所处的位置和粒子运动轨迹，并求出此时的磁感应强度；
（2）粒子过坐标原点0后的运动可分解为x方向和y方向两分运动组成，已知y方向分运动为简谐运动；求粒子离x轴最远距离．
分析：（1）根据洛伦兹力提供向心力，作出临界状态时粒子的轨迹，再根据几何关系求出粒子圆周运动的半径从而求出磁感应强度．
（2）根据粒子在y轴方向上做简谐运动，根据简谐运动的特征结合动能定理求解即可．
（2）根据粒子在y轴方向上做简谐运动，根据简谐运动的特征结合动能定理求解即可．
解答：解：（1）设带电粒子垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，轨迹半径为r，则有洛伦兹力提供向心力：
qv0B=m
…①
B=
…②
最小的等腰梯形边界如图PMNQ所示…③
设：此时半径为r0，最大磁感应强度为B0
从图中可得 r0+r0sinθ=1.5a…④
∴r0=a…⑤
B0=
…⑥
（2）设粒子运动到最高点速度为v，离x轴的距离为y0
根据动能定理 -qEy0=
mv2-
m
…⑦
根据简谐运动的对称性，粒子在最低点和最高点加速度大小相同，方向相反，设最大加速度为a0，
根据牛顿第二定律：在0点：qv0B-qE=ma…⑧
在最高点：qvB+qE=ma…⑨
由⑧⑨式解得：v=v0-
…⑩
由⑦⑩解得 y0=
(v0-
)…?
答：（1）轨迹如图所示，此时的磁感应强度B0=
（2）粒子离x轴的最远距离为y0=
(v0-
)．
qv0B=m
| ||
| r |
B=
| mv0 |
| qr |
最小的等腰梯形边界如图PMNQ所示…③
设：此时半径为r0，最大磁感应强度为B0
从图中可得 r0+r0sinθ=1.5a…④
∴r0=a…⑤
B0=
| mv0 |
| qa |
（2）设粒子运动到最高点速度为v，离x轴的距离为y0
根据动能定理 -qEy0=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
根据简谐运动的对称性，粒子在最低点和最高点加速度大小相同，方向相反，设最大加速度为a0，
根据牛顿第二定律：在0点：qv0B-qE=ma…⑧
在最高点：qvB+qE=ma…⑨
由⑧⑨式解得：v=v0-
| 2E |
| B |
由⑦⑩解得 y0=
| 2m |
| qB |
| E |
| B |
答：（1）轨迹如图所示，此时的磁感应强度B0=
| mv0 |
| qa |
（2）粒子离x轴的最远距离为y0=
| 2m |
| qB |
| E |
| B |
点评：粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据临界条件作出粒子运动轨迹，确定圆心和圆周运动半径是解决此类问题的常用方法，同时考查运用数学方法解决物理问题的能力．
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