Question

15．田野中有一条直路，一只小狗沿路奔跑的速率不超过v，在田野中奔跑的速率不超过u，且u＜v．试分析狗在时间t内可能到达的区域．

Answer 1

分析 如果一直往前走的话，最远可到达的距离为vt，如果马上离开直路进入田野，最远距离为ut；若先沿路跑t₁时间后离开路，同理分析，即可得出结论．

解答 解：如果一直往前走的话，最远可到达的距离为vt的A点，如果马上离开直路进入田野，最远距离为ut；若一直在田野中，狗到达的区域如图1中的圆形区域；其中过A点的圆的切线与AA′的夹角：$tanθ=\frac{ut}{vt}=\frac{u}{v}$；

如果狗先沿路运动t₁时间到达B点，然后离开路进入田野，则运动的范围如图2中的圆形区域，其中过A点的圆的切线与AA′夹角：
$tanβ=\frac{u（t-{t}_{1}）}{v（t-{t}_{1}）}=\frac{u}{v}=tanθ$

所以：β=θ，与时间t₁的大小无关．

所以在时间t内可能到达的区域应该为如图3所示的范围．其中ACO是直角三角形，红色的线为圆弧．
答：狗在时间t内可能到达的区域如图3中图形所示．

点评 该题为运动的合成问题，解题的过程中设狗先沿路运动t₁时间到达B点，然后离开路进入田野，然后得出一个过A点的圆的切线与AA′夹角无关的结论是解答的关键．