Question

5．“太空粒子探测器”是由加速、偏转和收集三部分组成，其原理可简化如下：如图所示，辐射状的加速电场区域边界为两个同心平行半圆弧面，圆心为O，外圆弧面AB的半径为L，电势为φ₁，内圆弧面CD的半径为$\frac{L}{2}$，电势为φ₂．足够长的收集板MN平行边界ACDB，O到MN板的距离OP为L．在边界ACDB和收集板MN之间加一个半圆形匀强磁场，圆心为O，半径为L，磁场方向垂直纸面向内，如图所示，假设太空中漂浮着质量为m，电量为q的带正电粒子，它们能均匀地吸附到AB圆弧面上，并被加速电场从静止开始加速，不计粒子间的相互作用和其它星球对粒子引力的影响．不考虑过边界ACDB的粒子再次返回．
（1）求粒子到达O点时速度的大小；
（2）为了实现从AB圆弧面收集到的粒子都到达不了收集板MN，则磁感应强度B至少多大？
（3）若发现从AB圆弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到收集板MN上．求所加匀强磁场磁感应强度的大小．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理即可求出粒子到达O点的速度；
（2）作出粒子运动的轨迹，结合轨迹求出粒子的半径，然后由洛伦兹力提供向心力即可求解；
（3）作出粒子运动的轨迹，结合几何知识求得粒子的收集率与粒子圆周运动转过圆心角的关系，再根据此关系求得收集率为0时对应的磁感应强度

解答 解：（1）设粒子到达O点时速度的大小为v．带电粒子在电场中加速时，电场力做功，由动能定理得：
q（φ₁-φ₂）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以得：v=$\sqrt{\frac{2（{φ}_{1}-{φ}_{2}）q}{m}}$…①
（2）如图1，收集到的粒子从O点右侧各个方向射出，分析可得，竖直向下飞过O点的粒子最有可能到达收集板，如果没有粒子到达收集板，就以该粒子刚好到达收集板为临界情况，根据几何关系得：粒子圆周运动的半径为：r=$\frac{L}{2}$
由qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B₀=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{2}{L}$$\sqrt{\frac{2m（φ{\;}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$
（3）如图2，收集到的粒子从O点右侧各个方向射出，若某粒子经磁场偏转后平行于MN板射出，则在该粒子下侧的粒子能收集到MN板上，上侧的粒子不能收集到MN板上，根据题意，粒子均匀分布，有$\frac{2}{3}$粒子能打到收集板MN上，则该粒子在O点时，速度与竖直向上的方向成60°，所以，轨迹圆心角θ=60°
根据几何关系，粒子圆周运动的半径：r=L    
由洛伦兹力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m（φ{\;}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$
答：（1）粒子到达O点时速度的大小为$\sqrt{\frac{2（{φ}_{1}-{φ}_{2}）q}{m}}$；
（2）为了实现从AB圆弧面收集到的粒子都到达不了收集板MN，则磁感应强度B至少$\frac{2}{L}$$\sqrt{\frac{2m（φ{\;}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$．
（3）若发现从AB圆弧面收集到的粒子有$\frac{2}{3}$能打到收集板MN上．所加匀强磁场磁感应强度的大小为$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2m（φ{\;}_{1}-{φ}_{2}）}{q}}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场中的加速和磁场中的偏转，综合性较强，对学生的能力要求较高，关键作出粒子的运动轨迹，选择合适的规律进行求解．