Question

9．已知地球半径为R，地表重力加速度为g，同步卫星和“神州七号”卫星离地高度分别为h₁和h₂，求：
（1）同步卫星和“神州七号”卫星的线速度之比．
（2）赤道上的物体和“神州七号”卫星的角速度之比．
（3）赤道上的物体和“神州七号”卫星的向心加速度之比．

Answer 1

分析 同步卫星定轨道（在赤道上方），定周期（与地球的自转周期相同），定速率、定高度．根据万有引力定律知向心力的大小；根据万有引力提供向心力，可知出同步卫星的轨道半径比沿赤道上空运动的近地卫星轨道半径大，进而判定v、ω、a的大小．

解答 解：（1）近地卫星、同步卫星的向心力是由万有引力提供，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
同步卫星和“神州七号”卫星离地高度分别为h₁和h₂，所以同步卫星和“神州七号”卫星的线速度之比是$\sqrt{\frac{R{+h}_{2}}{R{+h}_{1}}}$，
（2）根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
同步卫星、赤道上的物体的角速度相等，
所以赤道上的物体和“神州七号”卫星的角速度之比是$\sqrt{\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}}$，
（3）同步卫星、赤道上的物体的角速度相等，根据a=mω²r，
所以赤道上的物体和同步卫星的向心加速度之比是$\frac{R}{R{+h}_{1}}$，
根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
同步卫星和“神州七号”卫星的向心加速度之比是$\frac{{（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$，
所以赤道上的物体和“神州七号”卫星的向心加速度之比是$\frac{{R（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}$，
答：（1）同步卫星和“神州七号”卫星的线速度之比是$\sqrt{\frac{R{+h}_{2}}{R{+h}_{1}}}$．
（2）赤道上的物体和“神州七号”卫星的角速度之比是$\sqrt{\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}}$．
（3）赤道上的物体和“神州七号”卫星的向心加速度之比是$\frac{{R（R{+h}_{2}）}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{3}}$．

点评 解决本题的关键掌握同步卫星的特点：同步卫星定轨道（在赤道上方），定周期（与地球的自转周期相同），定速率、定高度．以及掌握万有引力提供向心力的公式．