Question

6．如图所示，有两段横截面积不同的圆筒连接而成的汽缸，开口向上竖直放置，上下两段的横截面积分别为S₁、S₂，S₁=4S₂，缸内两活塞封闭着两段质量一定的理想气体，活塞的质量不计，开始时S₂恰好在下段圆筒的上口，两段圆筒中气柱的高度分别为h₁和h₂，大气压强为P₀，温度为T₀，汽缸的导热性良好，重力加速度为g，不计活塞的厚度，现在上面的活塞上放一质量为m的物块，求两活塞静止时，活塞S₁、S₂向下移动的距离分别为多少？

Answer 1

分析 对下段封闭气体运用玻意耳定律，求出后来空气柱的长度，进而利用几何关系即可求出S₂向下移动的距离；
对上段封闭气体运用玻意耳定律，求出末态上段空气的体积，再利用几何关系，结合上下方气缸的横截面积，求出活塞S₁向下移动的距离；

解答 解：由于不计活塞的质量，因此开始时，两段气体的压强均为P₀，气体的体积分别为：V₁=h₁S，V₂=h₂S
放上质量为m的物块后，两段气体的压强均为：P₁=P₂=P₀+$\frac{mg}{{S}_{1}}$
设下段气柱的长度变为h₂′，等温变化，根据玻意耳定律可得：P₀V₂=P₂h₂′S₂
解得：h₂′=$\frac{{P}_{0}{h}_{2}{S}_{1}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
下段筒中活塞下移的距离为：△h₂=h₂-h₂′=$\frac{mg{h}_{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
对于上段气体运用玻意耳定律可得：P₀V₁=P₁V₁′
解得：V₁′=$\frac{{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}^{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$
设S₁下移的距离为△h₁，根据几何关系有：V₁′=（h₁-△h₁）S₁+△h₂S₂
解得：△h₁=h₁-$\frac{4{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}-mg{h}_{2}}{4（{P}_{0}{S}_{1}+mg）}$
答：活塞S₁、S₂向下移动的距离分别为h₁-$\frac{4{P}_{0}{h}_{1}{S}_{1}-mg{h}_{2}}{4（{P}_{0}{S}_{1}+mg）}$和$\frac{mg{h}_{2}}{{P}_{0}{S}_{1}+mg}$．

点评 本题考查气体定律的综合运用，解题关键是要分析好压强P、体积V、温度T三个参量的变化情况，选择合适的规律解决，还要准确对活塞进行受力分析，列出平衡方程，求出初末态的压强．