Question

1．宇航员在某一星球表面，将一小球自距星球表面h高处，沿水平方向抛出，经过时间t小球落到星球表面，已知该星球半径为R，万有引力常数为G，h远小于R，求：
（1）该星球的质量M；
（2）该星球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根据平抛求出星球表面重力加速度，再根据重力与万有引力相等求星球的质量；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力求解第一宇宙速度的大小．

解答 解：（1）小球在星球表面做平抛运动
小球在竖直方向自由落体运动，有：h=$\frac{1}{2}$gt²；
有小球在星球表面的重力加速度为：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
在星球表面重力与万有引力相等有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$
所以星球的质量为：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（2）卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力为：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得该星球的第一宇宙速度为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$
答：（1）该星球的质量$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（2）该星球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$．

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．