Question

20．（17分）如图甲所示，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长为0.4m的轻绳相连结．开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为0.2m处．然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为R′（r<R′ <R）的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上，木板与支架发生没有机械能损失的碰撞．碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧．在轻绳绷紧的瞬间，两物体具有共同速度v，如图乙所示．求：（1）若M/m=K，试讨论 v的方向与K值间的关系．（2）若M=m，则v值为多大？

图甲                   图乙

Answer 1

20. 解：

（1）本题的研究对象显然是M和m，它们都可以看作质点，也可以合在一起看作一个质点．本题可把整个过程分三个阶段处理：

第一阶段，两板看成一个质点自由下落直到与固定支架发生碰撞．故碰撞前的速度为=2m/s

第二阶段，以地面为参考系，M与支架C碰撞后，M以速率返回，向上做竖直上抛运动，m以速率向下做匀加速运动．两个质点同时做不同的运动，这样的物理模型比较复杂．若改变参考系，可以选择其他的运动模型，从而使过程简化．以大圆板为参考系，则M静止，小圆板以速率2向下做匀速直线运动．一个静止，一个匀速运动，这个运动模型简单多了．设经过时间t后两板间绳绷紧，有：L=2t      ①

再回到以地面为参考系的情况，    ②

    ③

解以上三式得m/s    m/s

第三阶段，绳绷紧瞬间，由于板间绳作用力远大于它们的重力，所以动量守恒，设向上为正方向，有    ④

得：     ⑤

（2）M = m，即k=1，代入上式得，v=-1m/s，两板获得向下的共同速度．还可知道：

当k>3时，两板获得向上的共同速度；

当k<3时，两板获得向下的共同速度；

当k=3时，v=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落．