Question

（2010?顺义区二模）由于两个物体相对位置的变化会引起引力场的能量变化，这种能量被称作这一对物体的引力势能．如果以无限远处的势能为0，则万有引力势能E_P可用下式进行计算：EP=-G

Mm

r

，式中m、M分别代表两个物体的质量，r为相对的物体m到M的中心距离，G为万有引力恒量．假设有两个相同质量均为m=200kg的人造卫星，沿距离地面为地球半径的圆形轨道相向运行，因而经过一段时间后发生了碰撞，碰后两卫星粘合在一起成为一个复合体．不计卫星间的万有引力及空气阻力，（地球半径为R=6400km，地球表面重力加速度取g=10m/s²）．求：
（1）卫星在碰撞之前做圆运动时的速度V的大小；
（2）两卫星碰撞前，系统具有的机械能E；
（3）碰撞后两卫星的复合体落到地面的瞬间的速度v'的大小和方向．

Answer 1

分析：研究卫星绕地球做圆周运动，其万有引力提供向心力列出等式．
忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．
系统具有的机械能等于动能和势能之和．
根据动量守恒得碰撞后复合体得速度为0，再根据机械能守恒求解落到地面的瞬间的速度．

解答：解：（1）设卫星做圆周运动的速度为v，其万有引力提供向心力得：

GMm

(2R)2

=m

v2

2R

在地球表面：

GMm

R2

=mg
解得：v=5.66km/s
（2）碰撞前两卫星与地球组成的系统总机械能为：
E=2（

1

2

mv²-G

Mm

2R

）
联立以上各式，代入数值解得：
E=-

1

2

mgR=-6.4×10⁹ J
（3）设碰撞后组成的复合体速度为v₁，
根据动量守恒得：mv-mv=2mv₁
解得：v₁=0
此时复合体由静止开始自由下落，由机械能守恒得：
-G

M?2m

2R

=

1

2

?2m?v′²-G

M?2m

R

解得：v′=8km/s
速度方向竖直向下．
答：（1）卫星在碰撞之前做圆运动时的速度V的大小是5.66km/s；
（2）两卫星碰撞前，系统具有的机械能是-6.4×10⁹ J；
（3）碰撞后两卫星的复合体落到地面的瞬间的速度的大小是8km/s和方向竖直向下．

点评：本题考查了多个知识点的应用，要能根据求解的问题选择恰当的物理规律求解．
运用黄金代换式GM=gR²求出问题是考试中常见的方法．