Question

7．如图1所示的xOy平面内，x＜0的区域有沿y轴负方向的匀强磁场，在x＞0的区域内，y轴和平行于y轴的虚线MN之间有垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线MN的右侧有沿y轴负方向的匀强电场，两电场的电场强度相同，在（-2$\sqrt{3}$L，L）的P点，有一质量为m，电量为q的带正电的粒子以初速度v₀沿y轴正方向射入电场，结果粒子在t=0时刻从坐标原点O射入磁场，磁场的磁感应强度随时间变化规律如图2所示，粒子在磁场中运动时，做圆周运动的周期等于T，并在T到1.5T之间垂直于MN进入第二个电场，不计粒子重力，求：

（1）粒子进入磁场时，速度的大小和方向；
（2）y轴与MN之间的距离；
（3）粒子最终经过x轴的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的速度．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后求出y轴与MN间的距离．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出粒子经过x轴的坐标．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：2$\sqrt{3}$L=v₀t，
竖直方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
粒子进入磁场时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$v₀，v=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qL}$，
粒子进入磁场时与x轴的夹角为θ，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：θ=30°；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，
由几何知识可知，y轴与MN之间的距离：d=5rsin30°，
解得：r=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}T}{3π}$，d=$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$；
（3）粒子进入MN右侧的电场后做类平抛运动，
水平方向：x′=vt′，
竖直方向：5rxos30°-r=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t′²，
解得：x′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$，
则粒子最终经过x轴的坐标：X=d+x′=$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$；
答：（1）粒子进入磁场时，速度的大小为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀，方向：与x轴夹角为30°；
（2）y轴与MN之间的距离为$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$；
（3）粒子最终经过x轴的位置坐标为（$\frac{5\sqrt{3}{v}_{0}T}{6π}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$\sqrt{\frac{（30-4\sqrt{3}）{v}_{0}TL}{π}}$，0）．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律可以解题，解题时要注意几何知识的应用．