Question

14．如图所示，在直角坐标系XOY的第一象限内有垂直于坐标平面向外的矩形有界匀强磁场，磁场的左边界与Y轴重合，右边界如图中虚线所示．在坐标系的三四象限内有平行于坐标平面、与X轴负方向成60°角斜向下的匀强电场，场强大小为E．一质量为m，电荷量为+q的粒子以速度v₀从坐标原点O沿y轴正方向出发，经磁场作用后偏转，粒子飞出磁场区域经过x轴上的b点，此时速度方向与x轴正方向的夹角为30°，粒子随后进入匀强电场中，恰好通过b点正下方的c点．已知O、b两点间距为L，粒子的重力不计，试求：
（1）矩形匀强磁场的宽度d．
（2）带电粒子从O点运动到c点的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出其运动轨迹，由几何关系求出轨迹半径，即可求得矩形匀强磁场的宽度d．
（2）带电粒子的运动由匀速圆周运动、匀速直线运动和类平抛运动三部分组成．在磁场中根据轨迹对应的圆心角求时间．粒子在电场中做类似平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解时间

解答 解：（1）做出粒子运动轨迹，如图中实线所示．设带电粒子在匀强磁场中的运动半径为R，
由图可知 R+$\frac{R}{sin30°}$=L   
解得：R=$\frac{1}{3}L$    ①
由图形可知磁场宽度为  d=R+Rsin30°=$\frac{1}{2}$L   ②
（2）带电粒子的运动由匀速圆周运动、匀速直线运动和类平抛运动三部分组成，运动时间分别是t₁、t₂、t₃．设粒子做圆周运动的周期为T：
  t₁=$\frac{1}{3}$T=$\frac{1}{3}•\frac{2πR}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{9{v}_{0}}$    ③
  t₂=$\frac{R}{{v}_{0}tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}L}{3{v}_{0}}$     ④
粒子进入电场做类平抛运动，设从b到c垂直电场方向的位移为s₁，沿电场方向的位移为s₂，粒子运动的加速度为a，则有：
  s₁=v₀t₃   ⑤
  s₂=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$    ⑥
 a=$\frac{qE}{m}$    ⑦
又 $\frac{{s}_{2}}{{s}_{1}}$=tan60°   ⑧
求得：t₃=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$    ⑨
所以得出：t=$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$   ⑨
答：
（1）矩形匀强磁场的宽度d为$\frac{1}{2}$L．
（2）带电粒子从O点运动到c点的时间为$\frac{（2π+3\sqrt{3}）L}{9{v}_{0}}$+$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{qE}$．

点评 本题中粒子先在磁场中做匀速圆周运动，后在电场中做类似平抛运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键．