Question

5．据美国宇航局报道，开普勒空间望远镜在距地球2000光年处发现了一个极不同寻常的小太阳系，该系统拥有6颗由岩石和气体构成的行星围绕一颗叫做“kepler-11”的类太阳恒星运行．经观测，其中被称为“kepler-11b”的行星与“kepler-11”的类太阳恒星之间的距离是地日距离的$\frac{1}{N}$倍，“kepler-11b”行星的公转周期是地球公转周期的k倍，“kepler-11b”行星的质量是地球的q倍、直径是地球的n倍．设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（　　）

• A． “kepler-11b”行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为$\frac{q}{{n}^{2}}$
• B． 在“kepler-11b”行星上发射卫星的第一宇宙速度和地球上发射卫星的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{n}{q}}$
• C． “kepler-11b”恒星质量与太阳质量之比为$\frac{1}{{k}^{2}{N}^{3}}$
• D． “kepler-11b”行星的近地卫星环绕周期与地球的近地卫星环绕周期之比为$\sqrt{\frac{q}{{n}^{3}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要求解的第一宇宙速度和该行星与“kepler-11b”的距离．根据万有引力近似等于重力，求出该行星表面与地球表面重力加速度之比，即可求出体重关系．

解答 解：A、行星表面的重力和去表面的重力都是由万有引力提供，则：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
所以：g=$G\frac{M}{{R}^{2}}$=$\frac{GM}{（\frac{D}{2}）^{2}}$，M是行星的质量，D是行星的直径，
所以：$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}=\frac{{M}_{行}}{{M}_{地}}•\frac{{D}_{地}^{2}}{{D}_{行}^{2}}=\frac{q}{{n}^{2}}$，故A正确；
B、当卫星绕行星表面附近做匀速圆周运动时的速度即为行星的第一宇宙速度，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，R是行星的半径，则得该行星与地球的第一宇宙速度之比为v_行：v_地=$\sqrt{\frac{qGM}{nR}}$：$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{q}{n}}$，故B错误；
C、地球绕太阳做匀速圆周运动时，$\frac{G{M}_{0}M}{{r}^{2}}=\frac{M•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，其中M₀是太阳的质量，则：${M}_{0}=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
同理，“kepler-11”的类太阳恒星的质量：${M}_{0}′=\frac{4{π}^{2}{（\frac{r}{N}）}^{3}}{G{{k}^{2}T}^{2}}$
所以：${M}_{0}′=\frac{1}{{k}^{2}{N}^{3}}•{M}_{0}$．故C正确；
D、由万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$R\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得：T=$2π\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，则T_行：T_地=$\sqrt{\frac{{R}_{行}^{3}}{{R}_{地}^{3}}×\frac{{M}_{地}}{{M}_{行}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{q}}$．故D错误．
故选：AC

点评 本题行星绕恒星、卫星绕行星的类型，建立模型，根据万有引力提供向心力，万有引力近似等于重力进行求解