Question

10．如图所示，某同学设计了一种物品转运模型，一个质量为m可视为质点的小滑块以某一水平初速度从P点抛出，恰好落至竖直放置的“66”型光滑管内的E点（虚线是“6”字型圆管道的直径），此时速度方向与“6”字臂平行，最后滑块从A点离开管道时的速度为$\frac{{v}_{0}}{2}$，并无能量损失地滑上正在以速度v₀顺时针转动的倾斜传送带上，当滑块滑到传送带上端F点时，恰好与传送带速度相同，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，“6”字臂、倾斜传送带与水平面的夹角均为θ，A、E等高，重力加速度为g．求：
（1）小滑块从P点抛出到E点所需时间；
（2）小滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量．

Answer 1

分析 （1）小滑块从P点抛出到E点的过程做平抛运动，到达E点的速度大小等于A点的速度大小，根据速度的分解法求出到达E点时竖直分速度v_y，再由v_y=gt求解所需时间；
（2）小滑块在传送带上滑行的整个过程中，根据滑块与传送带间的相对位移求产生的热量．

解答 解：（1）设滑块从P点抛出到E点所需时间为t．
根据机械能守恒知，滑块到达E点的速度大小等于A点的速度大小，则 v_E=$\frac{{v}_{0}}{2}$．
滑块到达E点时竖直分速度为 v_y=v_Esinθ
由v_y=gt得：t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{\frac{{v}_{0}}{2}sinθ}{g}$=$\frac{{v}_{0}sinθ}{2g}$
（2）滑块滑到传送带上后做匀加速运动，加速度为 a=$\frac{μmgcosθ-mgsinθ}{m}$=g（μcosθ-sinθ）
滑块从A到F的运动时间为 t=$\frac{{v}_{0}-\frac{{v}_{0}}{2}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{2g（μcosθ-sinθ）}$
滑块与传送带间的相对位移为△x=v₀t-$\frac{\frac{{v}_{0}}{2}+{v}_{0}}{2}t$=$\frac{1}{4}{v}_{0}t$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8g（μcosθ-sinθ）}$
故小滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量 Q=μmgcosθ△x=$\frac{μmcosθ•{v}_{0}^{2}}{8（μcosθ-sinθ）}$．
答：
（1）小滑块从P点抛出到E点所需时间是$\frac{{v}_{0}sinθ}{2g}$；
（2）小滑块在传送带上滑行的整个过程中产生的热量是$\frac{μmcosθ•{v}_{0}^{2}}{8（μcosθ-sinθ）}$．

点评 解决本题的关键是分析清楚滑块的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式求解滑块与传送带间的相对位移．要知道摩擦生热与相对位移有关．