Question

19．人造卫星绕地球的运动可近似看成匀速圆周运动．一颗质量为m的人造卫星在距地球表面高h处绕地球做圆周运动．如果地球半径为R，万有引力常量为G，该卫星绕地球运动周期为T，求：
（1）该卫星所受到的万有引力是多大？
（2）地球的质量为多大？

Answer 1

分析 因为卫星作匀速圆周运动，万有引力充当向心力，根据向心力的表达式可计算万有引力．
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h），可计算地球的质量．

解答 解：（1）因为卫星作匀速圆周运动，根据万有引力充当向心力，得该卫星所受到的万有引力为：
F=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h）=$\frac{4{π}^{2}m（R+r）}{{T}^{2}}$
（2）设地球质量为M，根据万有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R+h），
得：M=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
答：（1）该卫星所受到的万有引力是$\frac{4{π}^{2}m（R+r）}{{T}^{2}}$．
（2）地球的质量为$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$．

点评 万有引力定律常用方程有（1）星球表面的重力和万有引力相等；（2）环绕天体受到的万有引力提供向心力．这是解决这类问题常用的方程，要注意环绕天体运动半径的表述．