Question

有一个放射源水平放射出A、B两种粒子，垂直射入如图所示磁场区域Ⅰ中．区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，长度足够长，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感强度大小B相等，方向相反（粒子运动不考虑相对论效应）．已知A粒子带负电，电量为q、质量为m；B粒子带正电，电量为2q、质量为4m．
（1）若要使A粒子能够进入区域Ⅱ，求A粒子的初速度v₁的最小值；
（2）B粒子射出初速度大小v2=

Bqd

m

，计算B粒子在区域Ⅰ和Ⅱ中运动的总时间；
（3）当v₁满足第（1）小题所给值时，请求出速率在　

5

3

v₁＞v＞v₁区间的B粒子离开区域Ⅱ时的区域宽度和方向．

Answer 1

分析：（1）要使A粒子能够进入区域Ⅱ，A粒子的速度要足够大，当粒子的轨迹恰好与Ⅰ、Ⅱ边界相切时，A粒子的初速度最小，此时粒子的轨迹半径等于d，根据牛顿第二定律求解初速度．
（2）根据B粒子的速度大小，根据牛顿第二定律求出轨迹半径，画出轨迹，定出圆心角，根据周期与时间的关系，求出时间．
（3）根据牛顿第二定律分别求出速度为v₁和

5

3

v1时轨迹的半径，画出轨迹，分别求出粒子两种情况的侧移y，再由几何知识求出B粒子离开区域Ⅱ时的区域宽度．由于两个磁场的磁感应强度大小相等，方向相反，粒子在两个磁场中运动轨迹具有中心对称性，则B粒子离开区域Ⅱ时方向都与磁场区域Ⅱ右边界垂直．

解答：解：（1）作出临界轨道，对A粒子刚好能够进入区域Ⅱ时，初速度v₁的最小值
      由几何关系知r₁=d，又Bqv1=m

v 2 1

r1

   得　v1=

Bqd

m

    （2）对B粒子B2qv1=4m

v 2 2

r2

          得r₂=2d
       则sinα=

d

2d

=

1

2

，α=

π

6

   T=

2π4m

B2q

=

4πm

bq

       故t总=

1

6

T=

2πm

3Bq

    （3）画出速率分别为v₁和v₂的粒子离开区域Ⅱ轨迹如下图
        当v=v₁时，r₁=d，粒子向下侧移y₁=d
        当v=

5

3

v₁时，

r

/ 1

=

m. 5 3 v1

Bq

=

5

3

d，粒子向下侧移y₂=r′-

r ′ 2 1 -d2

=

d

3

        故B粒子离开区域Ⅱ时的区域△y=2y1-2y2=

4

3

d
           方向都与磁场区域Ⅱ右边界垂直 
答：（1）A粒子的初速度v₁的最小值v1=

Bqd

m

．
    （2）B粒子在区域Ⅰ和Ⅱ中运动的总时间t_总=

2πm

3Bq

；
    （3）B粒子离开区域Ⅱ时的区域宽度为

4

3

d，方向都与磁场区域Ⅱ右边界垂直．       

点评：本题关键是根据对称性和几何关系画轨迹．这也是高考命题的趋向，基本知识和方法来源于书本，但大量应用数学知识分析和解决这类问题．