Question

8．如图所示，与水平面的夹角为37°的粗糙倾斜直轨道和光滑半圆轨道CD用极短的光滑小圆弧连接，CD连线是圆轨道竖直方向的直径，可视为质点的滑块从直轨道上高H处由静止滑下，已知滑块的质量m=0.1kg，滑块与倾斜轨道间动摩擦因数μ=0.3，圆轨道的半径R=0.4m．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8． 
（1）若H=3m，求滑块通过C点时速度的大小？
（2）若H=3m，求滑块通过D点时的速度？
（3）若使滑块能通过D点时最小速度为2m/s，H至少为多大？

Answer 1

分析 （1）对滑块运动到C的过程应用动能定理求解；
（2）对滑块从C到D的运动过程应用机械能守恒求解；
（3）对滑块运动到D的整个过程应用动能定理求解．

解答 解：（1）滑块滑到C的过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mgH-μmgcos37°•\frac{H}{sin37°}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$，
故滑块通过C点时速度的大小${v}_{C}=\sqrt{2gH（1-μcot37°）}=6m/s$；
（2）滑块从C到D的运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$，所以，滑块通过D点时的速度${v}_{D}=\sqrt{{{v}_{C}}^{2}-4gR}=2\sqrt{5}m/s$；
（3）滑块运动到D的过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mg（H-2R）-μmgcos37°•\frac{H}{sin37°}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$；
所以，$H=\frac{\frac{1}{2}{{v}_{D}}^{2}+2gR}{g（1+μcot37°）}≥\frac{\frac{1}{2}×{2}^{2}+2×10×0.4}{10×（1+0.3×\frac{4}{3}）}m=\frac{5}{7}m$；
答：（1）若H=3m，滑块通过C点时速度的大小为6m/s；
（2）若H=3m，滑块通过D点时的速度为$2\sqrt{5}m/s$；
（3）若使滑块能通过D点时最小速度为2m/s，H至少为$\frac{5}{7}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．