Question

（2011?浙江模拟）有一个边长为L=1.4m的正方形桌子，桌面离地高度为h=1.25m．一个质量为m的小物块可从桌面中心O点以初速v₀=2m/s沿着桌面任意方向运动直至落地．设动摩擦因素为μ=0.2 （取g=10m/s²），求
（1）设物块在桌面滑动距离为s，求物块刚离开桌面时的速度v与s的关系．
（2）物块在桌面滑动距离s为多大时，物块水平运动距离最大？最大距离为多少？
（3）物块水平运动距离最大时，物块运动的总时间为多少？

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出物块刚离开桌面时的速度v与s的关系．
（2）离开桌子后，物块做平抛运动，由运动的分解法得出物块水平运动距离与初速度的关系，求出总的水平距离与s的关系，由数学知识求解s为多大时，物块水平运动距离最大，并求出最大距离．
（3）根据牛顿第二定律和速度公式求出物块在桌面运动的时间，再求解总时间．

解答：解：（1）物块在桌面滑动过程，根据动能定理可得：
-μmgs=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

得出：v=

v 2 0 -2μgs

（2）离开桌子后，物块做平抛运动
   s₁=vt
   h=

1

2

gt2
则物块水平运动距离为
 S=s+

2h g

?

v 2 0 -2μgs

代入已知条件
 S=s+

1-s

令

1-s

=x，得到：
S=-x²+x+1
当x=-

b

2a

=-

1

2×(-1)

=

1

2

时，S有最大值．
则有

1-s

=

1

2

，得到s=

3

4

m时，总的水平运动距离S取得最大值，最大值为S_max=

3

4

+

1

2

=

5

4

(m)
（3）设物块在桌面运动时间为t₁，加速度为a，则
-μmg=ma，
   v=v₀+at₁
可得物块在桌面运动时间为
   t1=

v0-v

μg

解得t₁=0.5s，
平抛运动时间为t2=

2h g

=0.5s
所以总运动时间为t=t₁+t₂=1s
答：
（1）物块刚离开桌面时的速度v与s的关系为v=

v 2 0 -2μgs

．
（2）物块在桌面滑动距离s=

3

4

m时，水平运动距离S取得最大值，最大值为S_max=

5

4

m．
（3）物块水平运动距离最大时，物块运动的总时间为1s．

点评：本题难点是运用数学知识求解极值，考查运用数学知识解决物理问题的能力．