Question

3．在桌面上有一个倒立的透明的玻璃锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示．有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的桌面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$．r为已知，光在真空中的速度为c．求：
（1）通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？
（2）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间t是多少？光照亮地面的光斑面积S多大？

Answer 1

分析 （1）当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$，可得入射角与临界角的大小，所以会发生光的全反射，反射光线却恰好垂直射出．
（2）可根据几何关系可确定光线在圆锥内和外通过的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光线在玻璃中的速度，即可求解时间．可先根据几何关系可确定光斑的半径，再求解光斑面积．

解答 解：（1）设玻璃圆锥的临界角为C，则有$sinC=\frac{1}{n}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
光线在B点的入射角为 θ=60°，则$sinθ=sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
因为sinθ＞sinC，所以光线l能在圆锥的侧面B点发生全反射
（2）根据几何关系知 BE=ED=$\sqrt{3}$r
光在圆锥体中传播速度为 v=$\frac{c}{n}$
所以，总时间 t=$\frac{BE}{v}$+$\frac{ED}{c}$=（3+$\sqrt{3}$）$\frac{r}{c}$
根据几何关系知光照亮地面的光斑半径 R=2r
所以光照亮地面的光斑面积 S=4πr²．
答：（1）光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）光线1经过圆锥侧面B点后射到桌面上某一点所用的总时间t为（3+$\sqrt{3}$）$\frac{r}{c}$，光照亮地面的光斑面积s是4πr²．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．