题目内容
20．
质量为m的登月器与航天飞机连接在一起，随航天飞机绕月球做半径为3R（R为月球半径）的圆周运动．当它们运行到轨道的A点时，登月器被弹离，航天飞机速度变大，登月器速度变小且仍沿原方向运动，随后登月器沿椭圆登上月球表面的B点，在月球表面逗留一段时间后，经快速起动仍沿原椭圆轨道回到分离点A与航天飞机实现对接．已知月球表面的重力加速度为g月．科学研究表明，天体在椭圆轨道上运行的周期的平方与轨道半长轴的立方成正比．试求：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是多少？
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道长轴为8R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是多少？
分析 （1）登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行，根据万有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力列出等式求解
（2）对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律列出等式，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，根据周期关系列出等式求解
解答 解：（1）设登月器和航天飞机在半径3R的轨道上运行时的周期为T，因其绕月球作圆周运动，所以应用牛顿第二定律有：
G$\frac{Mm}{9{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）2•3R…①
在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，即：
G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m0g月…②
联立①②解得：T=6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$…③
（2）设登月器在小椭圆轨道运行的周期是T1，航天飞机在大椭圆轨道运行的周期是T2．对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律分别有：
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{（2R）^{3}}$…④
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{（4R）^{3}}$…⑤
为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天飞机实现对接，登月器可以在月球表面逗留的时间t应满足：
t=nT2-T1 （其中，n=1、2、3、…）…⑥
联立③④⑤⑥得：t=4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器与航天飞机一起在圆周轨道上绕月球运行的周期是6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$
（2）若登月器被弹射后，航天飞机的椭圆轨道半长轴为4R，则为保证登月器能顺利返回A点，登月器可以在月球表面逗留的时间是4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）
点评 该题考查了万有引力定律及圆周运动相关公式的直接应用，对登月器和航天飞机依据开普勒第三定律，属于中档题
优学名师名题系列答案
如图，两名同学正坐在高速行驶的列车中．| A． | 串联电路上各个电阻消耗的电功率与他们的电阻成正比 | |
| B． | 并联电路上各个电阻消耗的电功率与他们的电阻成正比 | |
| C． | 串联电路上消耗的总功率等于各个电阻消耗的热功率之和 | |
| D． | 并联电路上消耗的总功率等于各个电阻消耗的热功率之和 |
| A． | 加压或加温可以改变衰变的快慢 | B． | X粒子是构成原子核的核子 | ||
| C． | 该衰变叫做β衰变 | D． | 发生衰变时原子核要吸收能量 |
| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | 9倍 | D． | 3倍 |
如图所示，电阻R1=8Ω，电动机绕组电阻R0=2Ω，当开关S断开时，电阻R1消耗的电功率是2.88W；当开关S闭合时，电阻R1消耗的电功率是2W．若电源的电动势为6V，求：
如图，用原长为8cm的橡皮筋跨过光滑的定滑轮把一根木棒悬挂起来，稳定后木棒处于水平状态，橡皮筋长度变为10cm，橡皮筋与水平棒的夹角为37°，橡皮筋的劲度系数k=2N/cm，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，则木棒的质量是（ ）| A． | 0.64 kg | B． | 0.50 kg | C． | 0.48 kg | D． | 0.32 kg |
| A． | 物体的质量越大，受到的重力也越大，所以物体的重力是由物体的质量产生的 | |
| B． | 重力的方向垂直接触面向下 | |
| C． | 重力的作用点一定在重心上，但重心不一定在物体上 | |
| D． | 重力可以没有施力物体 |